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यदि $\frac{1}{{b - c}},\;\frac{1}{{c - a}},\;\frac{1}{{a - b}}$ समान्तर श्रेणी के क्रमागत पद हों, तो ${(b - c)^2},\;{(c - a)^2},\;{(a - b)^2}$ होंगे
गुणोत्तर श्रेणी में
समान्तर श्रेणी में
हरात्मक श्रेणी में
इनमें से कोई नहीं
Solution
(b) यदि ${(b – c)^2},\;{(c – a)^2},\;{(a – b)^2}$ समान्तर श्रेणी में हैं,
तो ${(c – a)^2} – {(b – c)^2} = {(a – b)^2} – {(c – a)^2}$
$ \Rightarrow $ $(b – a)(2c – a – b) = (c – b)(2a – b – c)$…..(i)
यदि $\frac{1}{{b – c}},\;\frac{1}{{c – a}},\frac{1}{{a – b}}$ समान्तर श्रेणी में हैं,
तब $\frac{1}{{c – a}} – \frac{1}{{b – c}} = \frac{1}{{a – b}} – \frac{1}{{c – a}}$
$ \Rightarrow $ $\frac{{b + a – 2c}}{{(c – a)(b – c)}} = \frac{{c + b – 2a}}{{(a – b)(c – a)}}$
$ \Rightarrow $ $(a – b)(b + a – 2c) = (b – c)(c + b – 2a)$
$ \Rightarrow $ $(b – a)(2c – a – b) = (c – b)(2a – b – c)$,
जो कि $(i)$ से सत्य है।
