$m$ संख्याओं को $1$ तथा $31$ के रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है और $7$ वीं एव $(m-1)$ वीं संख्याओं का अनुपात $5: 9$ है। तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।
Let $A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots A_{m}$ be m numbers such that $1, A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots A_{m}, 31$ is an $A.P.$
Here, $a=1, b=31, n=m+2$
$\therefore 31=1+(m+2-1)(d)$
$\Rightarrow 30=(m+1) d$
$\Rightarrow d=\frac{30}{m+1}$ ...........$(1)$
$A_{1}=a+d$
$A_{2}=a+2 d$
$A_{3}=a+3 d$
$\therefore A_{7}=a+7 d$
$A_{m-1}=a+(m-1) d$
According to the given condition,
$\frac{a+7 d}{a+(m-1) d}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{1+7\left(\frac{30}{(m+1)}\right)}{1+(m-1)\left(\frac{30}{m+1}\right)}=\frac{5}{9}$ [ From $(1)$ ]
$\Rightarrow \frac{m+1+7(30)}{m+1+30(m-1)}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{m+1+210}{m+1+30 m-30}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{m+211}{31 m-29}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow 9 m+1899=155 m-145$
$\Rightarrow 155 m-9 m=1899+145$
$\Rightarrow 146 m=2044$
$\Rightarrow m=14$
Thus, the value of $m$ is $14$
यदि ${ }^{ n } C _{4},{ }^{ n } C _{5}$ तथा ${ }^{ n } C _{6}$ समान्तर श्रेणी में हो, तो $n$ का मान हो सकता है
यदि एक शून्येतर समान्तर श्रेढ़ी का $19$ वां पद शून्य है, तो इसका ($49$ वाँ) : ($29$ वाँ पद) है
माना $a _{1}, a _{2}, \ldots \ldots a _{30}$ एक समांतर श्रेणी है. $S =\sum_{i=1}^{30} a _{i}$ तथा $T = \sum\limits_{i = 1}^{15} {{a_{2i - 1}}} $ यदि $a _{5}=27$ तथा $S -2 T =75$, तो $a _{10}$ बराबर है
किसी समान्तर श्रेणी का $n$ वाँ पद $3n - 1$ है, तो इसके प्रथम पाँच पदों का योगफल होगा
किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम तथा तृतीय पदों का योग $12$ है, तथा प्रथम व द्वितीय पदों का गुणनफल $24$ है, तब श्रेणी का प्रथम पद होगा