$m$ संख्याओं को $1$ तथा $31$ के रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है और $7$ वीं एव $(m-1)$ वीं संख्याओं का अनुपात $5: 9$ है। तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।
Let $A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots A_{m}$ be m numbers such that $1, A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots A_{m}, 31$ is an $A.P.$
Here, $a=1, b=31, n=m+2$
$\therefore 31=1+(m+2-1)(d)$
$\Rightarrow 30=(m+1) d$
$\Rightarrow d=\frac{30}{m+1}$ ...........$(1)$
$A_{1}=a+d$
$A_{2}=a+2 d$
$A_{3}=a+3 d$
$\therefore A_{7}=a+7 d$
$A_{m-1}=a+(m-1) d$
According to the given condition,
$\frac{a+7 d}{a+(m-1) d}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{1+7\left(\frac{30}{(m+1)}\right)}{1+(m-1)\left(\frac{30}{m+1}\right)}=\frac{5}{9}$ [ From $(1)$ ]
$\Rightarrow \frac{m+1+7(30)}{m+1+30(m-1)}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{m+1+210}{m+1+30 m-30}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{m+211}{31 m-29}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow 9 m+1899=155 m-145$
$\Rightarrow 155 m-9 m=1899+145$
$\Rightarrow 146 m=2044$
$\Rightarrow m=14$
Thus, the value of $m$ is $14$
किसी समान्तर श्रेणी का $7$ वाँ पद $40$ है, तो श्रेणी के प्रथम $13$ पदों का योग होगा
यदि किसी समान्तर अनुक्रम के $p$ वें, $q$ वें व $r$ वें पद क्रमश: $a , b,$ $c$ हों, तो $[a(q - r)$ + $b(r - p)$ $ + c(p - q)]$ का मान होगा
दो समांतर श्रेढ़ियों के $n$ पदों के योगफल का अनुपात $(3 n+8):(7 n+15)$ है। $12$ वें पद का अनुपात ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित अनुक्रम में वांधित पद ज्ञात कीजिए, जिनका $n$ वाँ पर दिया गया है
$a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}} ; a_{7}$
यदि $a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।