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8. Sequences and Series
hard
यदि $a,\;b,\;c$ समान्तर श्रेणी में, $b,\;c,\;d$ गुणोत्तर श्रेणी में तथा $c,\;d,\;e$ हरात्मक श्रेणी में हैं, तो $a,\;c,\;e$ होंगे
A
कोई विशेष क्रम में नहीं
B
समान्तर श्रेणी में
C
गुणोत्तर श्रेणी में
D
हरात्मक श्रेणी में
Solution
(c) $a,\;b,\;c$ समान्तर श्रेणी में हैं, तब $2b = a + c$…..$(i)$
$b,\;c,\;d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तब ${c^2} = bd$….$(ii)$
$c,\;d,\;e$ हरात्मक श्रेणी में हैं, तब $d = \frac{{2ce}}{{c + e}}$….$(iii)$
समीकरण $(ii)$ से, ${c^2} = bd = \left( {\frac{{a + c}}{2}} \right)\,\,\left( {\frac{{2ce}}{{c + e}}} \right)$
$ \Rightarrow $ ${c^2} = \frac{{ace + {c^2}e}}{{c + e}} $
$\Rightarrow {c^3} + {c^2}e = ace + {c^2}e$
$ \Rightarrow $ ${c^3} = ace $
$\Rightarrow {c^2} = ae$
अत: $a,\;c,\;e$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
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