यदि x,y ∈ N के सभी मानों के लिये f(x + y) = f(x)f(y) को

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1.Relation and Function

hard

यदि $x,\;y \in N$ के सभी मानों के लिये $f(x + y) = f(x)f(y)$ को सन्तुष्ट करने वाला एक फलन $f(x)$ इस प्रकार है कि $f(1) = 3$ तथा $\sum\limits_{x = 1}^n {f(x) = 120} $, तब $n$ का मान है

A

$4$

B

$5$

C

$6$

D

इनमें से कोई नहीं

(IIT-1992)

Solution

(a) चूँकि $f(x + y) = f(x)f(y)$, $x,\;y \in N$ के समस्त मानों के लिए,

इसलिए $x \in N$ के किसी भी मान के लिए

$f(x) = f(x – 1 + 1) = f(x – 1)f(1)$

$ = f(x – 2){[f(1)]^2} = ……. = {[f(1)]^x}$

$ \Rightarrow $$f(x) = {3^x}$, $(\because \;f(1) = 3)$

अब $\sum\limits_{x = 1}^n {f(x) = 120} $

$ \Rightarrow $$\sum\limits_{x = 1}^n {{3^x} = 120} $

$ \Rightarrow $$\frac{{3({3^n} – 1)}}{{(3 – 1)}} = 120$

$\Rightarrow $$n = 4$

Standard 12

Mathematics

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medium

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