सिद्ध कीजिए कि $f(x)=\frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R_* , \rightarrow R_*$, एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ $R_*$, सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत $R_*$, को $N$ से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत $R_*$ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
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It is given that $f : R ^{*} \rightarrow R$. is defined by $f ( x )=\frac{1}{x}$
For one-one:
Let $x, y \in R *$ such that $f(x)=f(y)$
$\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{y}$
$\Rightarrow x=y$
$\therefore f$ is one $-$ one.
For onto:
It is clear that for $y \in R *$, there exists $x=\frac{1}{y} \in R *[\text { as } y \neq 0]$ such that
$f(x)=\frac{1}{\left(\frac{1}{y}\right)}=y$
$\therefore f$ is onto.
Thus, the given function $f$ is one $-$ one and onto.
Now, consider function g: $N \rightarrow R$. defined by $g ( x )=\frac{1}{x}$
We have, $g\left(x_{1}\right)=g\left(x_{2}\right)$
$\Rightarrow=\frac{1}{x_{1}}=\frac{1}{x_{2}}$
$\Rightarrow x_{1}=x_{2}$
$\therefore g$ is one-one.
Further, it is clear that $g$ is not onto as for $1.2 \in = R_*$. there does not exit any $x$ in $N$ such that $g ( x )$
$=\frac{1}{1.2}$
Hence, function $g$ is one-one but not onto.
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तब निम्न कथनों:
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$II$. अनंत $x \in[0,1]$ संभब है यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=\frac{1}{2}$.
$III$ अनंत $x \in[0,1]$ संभव है यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=1$.
$IV$. अन्त $x \in[0,1]$ सभव है यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)$ का अस्तित्व नहीं है.
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