यदि $^{n + 1}{C_3} = 2{\,^n}{C_2},$ तो $n =$

शब्द  $'EXAMINATION'$  के ग्यारह अक्षरों से बन सकने वाले $4$ अक्षरों के शब्दों (अर्थ वाले तथा अर्थवहीन) की संख्या है

$1,2,0,2,4,2,4$ अंकों के प्रयोग द्वारा $1000000$ से बड़ी कितनी संख्याएँ बन सकती हैं ?

किसी समूह में $4$ लड़कियाँ और $7$ लड़के हैं। इनमें से $5$ सदस्यों की एक टीम का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है, यदि टीम में एक भी लड़की नहीं है ?

शतरंज प्रतियोगिता में भाग लेने वाले $m$ पुरूष तथा दो महिलायें हैं। प्रत्येक प्रतिभागी हर दूसरे प्रतिभागी के साथ दो खेल खेलता है। यदि पुरूषों द्वारा अपने मध्य खेले गये खेलों की संख्या पुरूषों और महिलाओं के मध्य खेले जाने वाले खेलों की संख्या $84$ से अधिक हो, तो $m$ का मान होगा

यदि $x,\;y$ तथा $r$ धनात्मक पूर्णांक हैं, तब $^x{C_r}{ + ^x}{C_{r - 1}}^y{C_1}{ + ^x}{C_{r - 2}}^y{C_2} + .......{ + ^y}{C_r} = $