यदि {(1 + x)^{15}} = {C_0} + {C₁}x + {C₂}{x^2} + ...... + {C_{15}}{x^{15}} हो, ?

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7.Binomial Theorem

hard

यदि ${(1 + x)^{15}} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + ...... + {C_{15}}{x^{15}}$ हो, तब ${C_2} + 2{C_3} + 3{C_4} + .... + 14{C_{15}}$ का मान है

A

${14.2^{14}}$

B

${13.2^{14}} + 1$

C

${13.2^{14}} - 1$

D

इनमें से कोई नहीं

(IIT-1966)

Solution

${(1 + x)^{15}} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2}. + …. + {C_{15}}{x^{15}}$

$\frac{{{{(1 + x)}^{15}} – 1}}{x} = {C_1} + {C_2}x + …. + {C_{15}}{x^{14}}$

$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,

$ = \frac{{x.15{{(1 + x)}^{14}} – {{(1 + x)}^{15}} + 1}}{{{x^2}}}$

= ${C_2} + 2{C_3}x + …… + \,14\,{C_{15}}{x^{13}}$

$x = 1$ रखने पर,

${C_2} + 2{C_3} + …. + 14{C_{15}} = {15.2^{14}} – {2^{15}} + 1 = {13.2^{14}} + 1.$

Standard 11

Mathematics

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