$\sum_{\mathrm{r}=0}^{22}{ }^{22} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}{ }^{23} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}$ का मान है

  • [JEE MAIN 2023]
  • A

    ${ }^{45} C _{23}$

  • B

    ${ }^{44} C _{23}$

  • C

    ${ }^{45} C _{24}$

  • D

    ${ }^{44} C _{22}$

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बहुपद $(x - 1)(x - 2)(x - 3).............(x - 100),$ में ${x^{99}}$ का गुणांक होगा  

यदि $\left( x ^{ n }+\frac{2}{ x ^5}\right)^7$ के द्विपद प्रसार में $x$ की सभी धनात्मक घातों के गुणांको का योगफल $939$ है, तो $n$ के सभी सम्भव पूर्णांक मानों का योग है :

  • [JEE MAIN 2022]

यदि $n, 1$ से बड़ा पूर्णांक है, तब  $a{ - ^n}{C_1}(a - 1){ + ^n}{C_2}(a - 2) + .... + {( - 1)^n}(a - n) = $

  • [IIT 1972]

$\frac{1}{{1!(n - 1)\,!}} + \frac{1}{{3!(n - 3)!}} + \frac{1}{{5!(n - 5)!}} + .... = $

यदि ${S_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{1}{{^n{C_r}}}} $ और ${t_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{r}{{^n{C_r}}}} $, तो $\frac{{{t_n}}}{{{S_n}}}$=

  • [AIEEE 2004]