જો p + q + r = 0 = a + b + c , તો left| {,begin{array}{*{20}{c}}{pa}&{qb}&{rc}{qc}&a

English

Gujarati

Hindi

3 and 4 .Determinants and Matrices

medium

જો $p + q + r = 0 = a + b + c$, તો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{pa}&{qb}&{rc}\\{qc}&{ra}&{pb}\\{rb}&{pc}&{qa}\end{array}\,} \right|= . . . $

$0$

$pa + qb + rc$

$1$

એકપણ નહી.

Solution

(a) We have $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{pa}&{qb}&{rc}\\{qc}&{ra}&{pb}\\{rb}&{pc}&{qa}\end{array}\,} \right|$

$ = pqr({a^3} + {b^3} + {c^3}) – abc({p^3} + {q^3} + {r^3})$

= $pqr(3abc) – abc(3pqr) = 0$,

$\left( \begin{gathered}
\because \,p + q + r = 0\,,\,\therefore \,\,{p^3} + {q^3} + {r^3} = 3pqr \hfill \\
\because \,\,a + b + c = 0\,,\therefore \,{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc \hfill \\
\end{gathered} \right)$
.

Standard 12

Mathematics

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{b + c}\\1&b&{c + a}\\1&c&{a + b}\end{array}\,} \right|= . . .. $

easy

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{a – 1}&a&{bc}\\{b – 1}&b&{ca}\\{c – 1}&c&{ab}\end{array}\,} \right| = $

easy

જો $n \ne 3k$ અને 1, $\omega ,{\omega ^2}$ એકના ઘનમૂળ હોય , તો $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}\\{{\omega ^{2n}}}&1&{{\omega ^n}}\\{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}&1\end{array}\,} \right|$ ની કિમત મેળવો.

normal

અહી $[\lambda]$ એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે. $\lambda$ ની કિમંતો નો ગણ મેળવો કે જેથી સમીકરણ સંહતિ $x+y+z=4,3 x+2 y+5 z=3$ $9 x+4 y+(28+[\lambda]) z=[\lambda]$ નો ઉકેલ મળે.

hard

(JEE MAIN-2021)

જો સુરેખ સંહતિઓ $3 x+y+\beta z=3$, $2 x+\alpha y-z=-3$, $x+2 y+z=4$ ને અનંત ઉકેલો હોય તો $22 \beta-9 \alpha$ ની કિમંત મેળવો.