જો $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}x&y&z\\p&q&r\\a&b&c\end{array}\,} \right|,$ તો  $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}x&{2y}&z\\{2p}&{4q}&{2r}\\a&{2b}&c\end{array}\,} \right|$ = . . .

સમીકરણ $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}x&0&8\\4&1&3\\2&0&x\end{array}\,} \right| = 0$ ના બીજ મેળવો.

જો ${x^a}{y^b} = {e^m},{x^c}{y^d} = {e^n},{\Delta _1} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}m&b\\n&d\end{array}\,} \right|\,\,{\Delta _2} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&m\\c&n\end{array}\,} \right|$ અને ${\Delta _3} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}\,} \right|$, તો $x$ અને $y$ ની કિમત મેળવો.

ધારો કે $S _1$ અને $S _2$ એવા દરેક $a \in R$ - \{0\}ના ગણો દર્શાવે છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણ સંહતિ

$a x+2 a y-3 a z=1$

$(2 a+1) x+(2 a+3) y+(a+1) z=2$

$(3 a+5) x+(a+5) y+(a+2) z=3$

ને અનુક્રમે અનન્ય ઉકેલ તથા અસંખ્ય ઉકેલો હોય. તો

જો $D = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{1 + x}&1\\1&1&{1 + y}\end{array}\,} \right|$ જયાં $x \ne 0,y \ne 0$ તો $D$ એ . . . . .

$\Delta ABC$ માં , જો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&b\\1&c&a\\1&b&c\end{array}\,} \right| = 0$, તો ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = $