જો  $x, y, z$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જેનો સામાન્ય તફાવત $d , x \neq 3 d ,$ આપેલ છે અને શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}3 & 4 \sqrt{2} & x \\ 4 & 5 \sqrt{2} & y \\ 5 & k & z\end{array}\right]$ નું મૂલ્ય શૂન્ય છે તો  $k ^{2}$ ની કિમંત મેળવો.

$k$ ની કિમત  . . . .  માટે સમીકરણો $kx + 2y\,-z = 1$  ;  $(k\,-\,1)y\,-2z = 2$  ;  $(k + 2)z = 3$ એ એકાકી ઉકેલ ધરાવે . 

વિધાન $1$ : જો સમીકરણો $x + ky + 3z = 0, 3x+ ky - 2z = 0, 2x + 3y - 4z = 0$ ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય તો $k$ ની કિમંત $\frac{31}{2}$ થાય .

વિધાન $2$ : ત્રણ સજાતીય સમીકરણોના સહગુણકોનો નિશ્રાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોય તો સમીકરણોનો ઉકેલ શૂન્યતર ઉકેલ મળે.

સમીકરણ $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&4&{20}\\1&{ - 2}&5\\1&{2x}&{5{x^2}}\end{array}\,} \right| = 0$ ના બીજ મેળવો.

નિશ્ચાયકની કિમત મેળવો  : $\left|\begin{array}{ccc}
3 & -4 & 5 \\
1 & 1 & -2 \\
2 & 3 & 1
\end{array}\right|$

$\Delta=\left|\begin{array}{lll}3 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો. ( ${R_1} = {R_3}$ છે. )