यदि omega इकाई का घनमूल हो व Delta = left| {begin{arra

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3 and 4 .Determinants and Matrices

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यदि $\omega $ इकाई का घनमूल हो व $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{2\omega }\\\omega &{{\omega ^2}}\end{array}} \right|$, तो ${\Delta ^2}$ =

A

$ - \omega $

B

$\omega $

C

$1$

D

${\omega ^2}$

Solution

(b) $\Delta = {\omega ^2} – 2{\omega ^2} = – {\omega ^2}$.

Therefore ${\Delta ^2} = {\omega ^4} = \omega $.

Standard 12

Mathematics

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निम्न रैखिक समीकरणों का निकाय $3 x -2 y – kz =10$ ; $2 x -4 y -2 z =6$ ; $x +2 y – z =5 m$ असंगत है यदि

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मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है जिनके लिए रैखिय समीकरणों

$x+2 y+3 z=\alpha$

$4 x+5 y+6 z=\beta$

$7 x+8 y+9 z=\gamma-$

का निकाय (system of linear equations) संगत (consistent) है। मान लीजिए कि $| M |$ आव्यूह (matrix)

$M=\left[\begin{array}{ccc}\alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$

का सारणिक (determinant) है।

मान लीजिए कि $P$ उन सभी $(\alpha, \beta, \gamma)$ को अंतर्विष्ट करने वाला समतल है। जिनके लिए ऊपर दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय संगत है, और $D$, बिन्दु $(0,1,0)$ की समतल $P$ से दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान है।

($1$) $| M |$ का मान. . . .है।

($2$) $D$ का मान. . . .है।

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समीकरण के निकाय ${x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = a\ \ ;\ \ 2{x_1} + 3{x_2} + {x_3} =b\ \ ;\ \ $ $3{x_1} + {x_2} + 2{x_3} = c$ का हल होगा

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माना रैखिक समीकरण निकाय $4 x +\lambda y +2 z =0$ ; $2 x – y + z =0$ ; $\mu x +2 y +3 z =0, \lambda, \mu \in R$ का एक अतुच्छ हल है। तो निम्न में से कौन सा सत्य है ?

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(JEE MAIN-2021)

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{a\alpha – b}\\b&c&{b\alpha – c}\\2&1&0\end{array}\,} \right| = 0$ तथा $\alpha \ne \frac{1}{2},$ तो

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