જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1/3}&2\\0&{2x – 3}\end{array}} \right],B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3&6\\0&{ – 1}\end{array}} \right]$ અને $AB = I$, તો $x =$

અહી $A =\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]$ અને $B = A – I$ છે. જો  $\omega=\frac{\sqrt{3} i -1}{2}$ હોય તો ગણ $\left\{ n \in\{1,2, \ldots, 100\}: A ^{ n }+(\omega B )^{ n }= A + B \right\}$ ના ઘટકોની સંખ્યા  $……….$ થાય.

જો $A$ અને $B$ એ વાસ્તવિક શ્રેણિક છે કે જે $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\alpha &0\\
0&\beta 
\end{array}} \right]$ અને $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&\gamma \\
\delta &0
\end{array}} \right]$ ના સ્વરૂપમાં અનુક્રમે આપેલ છે .

વિધાન $-1$ : $AB – BA$ એ હમેશા સામાન્ય શ્રેણિક છે .

વિધાન $-2$ : $AB -BA$ એ એકમ શ્રેણિક શક્ય નથી.

જો $P$ એ એવો $3 \times 3$ વાસ્તવિક શ્રેણિક હોય કે જેથી $P^T=a P+(a-1) I$, જ્યાં $a >1$,તો

$\cos \theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{\sin \theta }\\{ – \sin \theta }&{\cos \theta }\end{array}} \right] + \sin \theta \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \theta }&{ – \cos \theta }\\{\cos \theta }&{\sin \theta }\end{array}} \right] = $