$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}x&4&{y + z}\\y&4&{z + x}\\z&4&{x + y}\end{array}\,} \right| = $

दो न्याय पासे फेंके जाते है। उनमें प्राप्त अंको को $\lambda$ तथा $\mu$ लेकर रैखिक समीकरण निकाय $x+y+z=5$ , $x+2 y+3 z=\mu$ , $x+3 y+\lambda z=1$ बनाया जाता है। यदि इस निकाय का अद्वितीय हल होने की प्रायिकता $p$ है तथा इस निकाय का कोई भी हल न होने की प्रायिकता $q$ है, तो –

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x}&{x + 1}&{x – 2}\\{2{x^2} + 3x – 1}&{3x}&{3x – 3}\\{{x^2} + 2x + 3}&{2x – 1}&{2x – 1}\end{array}\,} \right| = Ax – 12$, तो $ A$ का मान है

माना $a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{10}$ गुणोत्तर श्रेणी में है जिसमें $i =1,2, \ldots, 10$ के लिये $a _{ i }>0$ है तथा युग्मों $( r , k ), r , k \in N$ (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय) का समुच्चय $S$ है जिसके लिये $\left|\begin{array}{lll}\log _{ e } a_{1}^{ r } a _{2}^{ k } & \log _{ e } a _{2}^{ r } a _{3}^{ k } & \log _{ e } a _{3}^{ r } a _{4}^{ k } \\ \log _{ e } a _{4}^{ r } a _{5}^{ k } & \log _{ e } a _{5}^{ r } a _{6}^{ k } & \log _{ e } a _{6}^{ r } a _{7}^{ k } \\ \log _{ e } a _{7}^{ r } a _{8}^{ k } & \log _{ e } a _{8}^{ r } a _{9}^{ k } & \log _{ e } a _{9}^{ r } a _{10}^{ k }\end{array}\right|=0$ है। तब $S$ में अवयवों की संख्या होगी 

माना $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ है। यदि रैखिक समीकरण निकाय

$\left(1+\cos ^{2} \theta\right) x+\sin ^{2} \theta y+4 \sin 3 \theta z=0$

$\cos ^{2} \theta x+\left(1+\sin ^{2} \theta\right) y+4 \sin 3 \theta z=0$

$\cos ^{2} \theta x+\sin ^{2} \theta y+(1+4 \sin 3 \theta) z=0$ का अतुच्छ हल है, तो, $\theta$ का मान है