यदि n ne 3k और 1, omega ,{omega ^2} इकाई के घनमूल हैं, तो

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3 and 4 .Determinants and Matrices

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यदि $n \ne 3k$ और 1,$\omega ,{\omega ^2}$ इकाई के घनमूल हैं, तो $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}\\{{\omega ^{2n}}}&1&{{\omega ^n}}\\{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}&1\end{array}\,} \right|$ का मान है

$0$

$\omega $

${\omega ^2}$

$1$

Solution

${C_1} \to {C_1} + {C_2} + {C_3}$ के द्वारा,

$\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {\omega ^n} + {\omega ^{2n}}}&{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}\\{1 + {\omega ^n} + {\omega ^{2n}}}&1&{{\omega ^n}}\\{1 + {\omega ^n} + {\omega ^{2n}}}&{{\omega ^{2n}}}&1\end{array}\,} \right| = \,\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}0&{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}\\0&1&{{\omega ^n}}\\0&{{\omega ^{2n}}}&1\end{array}\,} \right|\, = \,\,0$,

$(\because \,{\text{ 1}} + {\omega ^n} + {\omega ^{2n}} = 0$ यदि $n , 3 $ का गुणज नहीं है)।

Standard 12

Mathematics

यदि $\left|\begin{array}{ccc} a – b – c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b – c – a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c – a – b \end{array}\right|=( a + b + c )$ $( x + a + b + c )^{2}, x \neq 0$ तथा $a + b + c \neq 0$ हो, तो $x$ बराबर है

hard

(JEE MAIN-2019)

धनात्मक संख्यायें $x,y$ और $z $ के लिये सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{{{\log }_x}y}&{{{\log }_x}z}\\{{{\log }_y}x}&1&{{{\log }_y}z}\\{{{\log }_z}x}&{{{\log }_z}y}&1\end{array}\,} \right|$ का आंकिक मान है

easy

(IIT-1993)

माना $\theta \in[-\pi, \pi]$ के सभी मानों, जिनके लिये रैखिक समीकरण निकाय

रैखिक समीकरण निकाय

$x+y+\sqrt{3} z=0$

$-x+(\tan \theta) y+\sqrt{7} z=0$

$x+y+(\tan \theta) z=0$

का अतुच्छ हल है, का समुच्चय $\mathrm{S}$ है। तो $\frac{120}{\pi} \sum_{\theta \in s} \theta$ बराबर है

hard

(JEE MAIN-2023)

समीकरण निकाय $x + y – z = 0$, $3x – y – z = 0$, $x – 3y + z = 0$ के हलों की संख्या होगी

medium

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{m{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{m{a_2}}&{{b_2}}\\{{a_3}}&{m{a_3}}&{{b_3}}\end{array}\,} \right| = $