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3 and 4 .Determinants and Matrices
medium
यदि $x = cy + bz,\,\,y = az + cx,\,\,z = bx + ay$ (जहाँ $ x, y, z$ सभी शून्य नहीं हैं) का $x = 0$,$y = 0$,$z = 0$ के अतिरिक्त भी कोई हल है, तो $a, b $ और $ c$ में सम्बन्ध है
A
${a^2} + {b^2} + {c^2} + 3abc = 0$
B
${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc = 0$
C
${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc = 1$
D
${a^2} + {b^2} + {c^2} - bc - ca - ab = 1$
(IIT-1978)
Solution
समघातीय समीकरणों के निकाय
$x – cy – bz = 0$
$cx – y + az = 0$
$bx + ay – z = 0$
का एक अशून्य हल होगा (चूँकि $x,\,y,\,z$ सभी अशून्य हैं),
यदि $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – c}&{ – b}\\c&{ – 1}&a\\b&a&{ – 1}\end{array}\,} \right|\, = 0$
अर्थात्, यदि $(1 – {a^2})\, + c( – c – ab) – b(ac + b) = 0$
अर्थात्, यदि ${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc = 1$.
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