જો $x = cy + bz,\,\,y = az + cx,\,\,z = bx + ay$ (કે જ્યાં $ x, y, z $ બધા શૂન્ય ન હોય) તો $x = 0$, $y = 0$, $z = 0$ સિવાય નો ઉકેલ હોય તો $ a, b $ અને  $c$  વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.

$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ અને એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે, ધારોકે $A_r=\left|\begin{array}{ccc}r & 1 & \frac{n^2}{2}+\alpha \\ 2 r & 2 & n^2-\beta \\ 3 r-2 & 3 & \frac{n(3 n-1)}{2}\end{array}\right|$ તો $2 A_{10}-A_8=$.........................

જો $a,b,c$ ધન અને અસમાન હોય , તો નિશ્રાયક $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{array}\,} \right|$ ની કિમત . . .. .

અહી $S$ એ $\lambda$ ની બધીજ વાસ્તવિક કિમંતોનો ગણ છે કે જેથી સમીકરણો  $\lambda x + y + z =1$ ; $x +\lambda y + z =1$ ; $x + y +\lambda z =1$ સુસંગત નથી તો $\sum_{\lambda \in S}\left(|\lambda|^2+|\lambda|\right)$ ની કિમંત મેળવો.

જો $\left| \begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2a}&{a + b}&{a + c}\\
{b + a}&{ - 2b}&{b + c}\\
{c + a}&{b + c}&{ - 2c}
\end{array}\right|$ $ = \alpha \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ne 0$ તો $\alpha $ મેળવો.

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો.