माना कुछ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ के लिये समीकरण निकाय $ \alpha x+2 y+z=1 $ $ 2 \alpha x+3 y+z=1 $ $ 3 x+\alpha y+2 z=\beta$ है। निम्न में से कौनसा सही नहीं है
माना कुछ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ के लिये समीकरण निकाय $ \alpha x+2 y+z=1 $ $ 2 \alpha x+3 y+z=1 $ $ 3 x+\alpha y+2 z=\beta$ है। निम्न में से कौनसा सही नहीं है
- [JEE MAIN 2023]
- A
इसका कोई हल नहीं हैं यदि $\alpha=-1$ तथा $\beta \neq 2$ है।
- B
इसका $\alpha=-1$ तथा सभी $\beta \in \mathbb{R}$ के लिये कोई हल नहीं है।
- C
इसका $\alpha=3$ तथा सभी $\beta \neq 2$ के लिये कोई नहीं है।
- D
इसका सभी $\alpha \neq-1$ तथा $\beta=2$ के लिये कोई हल नहीं है।
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यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{a + b}\\b&c&{b + c}\\{a + b}&{b + c}&0\end{array}\,} \right| = 0$; तो $a,b,c$ होंगे
यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&{a + b}\\b&c&{b + c}\\{a + b}&{b + c}&0\end{array}\,} \right| = 0$; तो $a,b,c$ होंगे
रैखिक समीकरणों के निम्न निकाय $7 x+6 y-2 z=0$, $3 x+4 y+2 z=0$, $x-2 y-6 z=0$
रैखिक समीकरणों के निम्न निकाय $7 x+6 y-2 z=0$, $3 x+4 y+2 z=0$, $x-2 y-6 z=0$
- [JEE MAIN 2020]
यदि $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$ हो, तो दिखाइए $|3 A |=27| A |$
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मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है जिनके लिए रैखिय समीकरणों
$x+2 y+3 z=\alpha$
$4 x+5 y+6 z=\beta$
$7 x+8 y+9 z=\gamma-$
का निकाय (system of linear equations) संगत (consistent) है। मान लीजिए कि $| M |$ आव्यूह (matrix)
$M=\left[\begin{array}{ccc}\alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$
का सारणिक (determinant) है।
मान लीजिए कि $P$ उन सभी $(\alpha, \beta, \gamma)$ को अंतर्विष्ट करने वाला समतल है। जिनके लिए ऊपर दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय संगत है, और $D$, बिन्दु $(0,1,0)$ की समतल $P$ से दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान है।
($1$) $| M |$ का मान. . . .है।
($2$) $D$ का मान. . . .है।
मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है जिनके लिए रैखिय समीकरणों
$x+2 y+3 z=\alpha$
$4 x+5 y+6 z=\beta$
$7 x+8 y+9 z=\gamma-$
का निकाय (system of linear equations) संगत (consistent) है। मान लीजिए कि $| M |$ आव्यूह (matrix)
$M=\left[\begin{array}{ccc}\alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$
का सारणिक (determinant) है।
मान लीजिए कि $P$ उन सभी $(\alpha, \beta, \gamma)$ को अंतर्विष्ट करने वाला समतल है। जिनके लिए ऊपर दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय संगत है, और $D$, बिन्दु $(0,1,0)$ की समतल $P$ से दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान है।
($1$) $| M |$ का मान. . . .है।
($2$) $D$ का मान. . . .है।
- [IIT 2021]
माना $a, b, c$ के लिए $b(a+c) \neq 0$ । यदि
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a + 1}&{a - 1}\\{ - b}&{b + 1}&{b - 1}\\c&{c - 1}&{c + 1}\end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 1}&{b + 1}&{c - 1}\\{a - 1}&{b - 1}&{c + 1}\\{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 2}} \cdot a}&{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}} \cdot b}&{{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot c}\end{array}} \right| = 0$
तो $n$ का मान है
माना $a, b, c$ के लिए $b(a+c) \neq 0$ । यदि
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a + 1}&{a - 1}\\{ - b}&{b + 1}&{b - 1}\\c&{c - 1}&{c + 1}\end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 1}&{b + 1}&{c - 1}\\{a - 1}&{b - 1}&{c + 1}\\{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 2}} \cdot a}&{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}} \cdot b}&{{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot c}\end{array}} \right| = 0$
तो $n$ का मान है
- [AIEEE 2009]