- Home
- Standard 11
- Mathematics
જો વર્તૂળો ${x^2} + {y^2} + 3x + 7y + 2p - 5 = 0$ અને ${x^2} + {y^2} + 2x + 2y - {p^2} = 0$ નાં છેદબિંદુઓ $P$ અને $Q$ હોય,તો $P,Q$ અને $ (1,1)$ માંથી પસાર થતા વર્તૂળ માટે:
$p $ ની એક સિવાયની બધીજ કિંમત માટે
$p$ ની બે સિવાયની બધીજ કિંમત માટે
$p$ ની એકજ કિંમત માટે
$p $ ની બધીજ કિંમત માટે
Solution
The radical axis, which in the case of the intersection of the circles is the common chord, of the
circles
$S_{1}: x^{2}+y^{2}+3 x+7 y+2 p-5=0$ and $S_{2}: x^{2}+y^{2}+2 x+2 y-p^{2}=0$ is
$S_{1}-S_{2}=0 \Rightarrow x+5 y+2 p-5+p^{2}=0 \ldots(i)$
If there is a circle passing through $P, Q$ and (1,1) it's necessary and sufficient that (1,1) doesn't lie on PQ, i.e.
$1+5+2 p-5+p^{2} \neq 0$
$\Rightarrow p^{2}+2 p+1 \neq 0 \Rightarrow(p+1)^{2} \neq 0$
$\therefore p \neq-1$
Thus for all values of $p$ except $^{\prime}-1^{\prime}$ there is a circle passing through $P, Q$ and (1,1)
