જો ${z_1}$ અને ${z_2}$ બે સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$ તો arg $({z_1}) – $arg $({z_2})$ = . . . ..

જો $\frac{{z – \alpha }}{{z + \alpha }}\left( {\alpha  \in R} \right)$ એ શુધ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા અને  $\left| z \right| = 2$ હોય તો $\alpha $ ની કિમત મેળવો. 

વિધાનો

વિધાન $I$: કોઈ બે શુન્યેતર સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2$

માટે $\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)$ અને

વિધાન $II$ : જો $x, y, z$ એ ત્રણ ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ હોય તથા $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ એ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી હોય કે જેથી

$\frac{\mathrm{a}}{|y-z|}=\frac{\mathrm{b}}{|z-x|}=\frac{\mathrm{c}}{|x-y|}$ તો $\frac{\mathrm{a}^2}{y-z}+\frac{\mathrm{b}^2}{z-x}+\frac{\mathrm{c}^2}{x-y}=1$

સંકર સંખ્યાનો માનાંક અને કોણાંક શોધો : $\frac{1+i}{1-i}$

જો ${Z_1} \ne 0$ અને  $Z_2$ એવી સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી  $\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}}$ શુધ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા થાય તો $\left| {\frac{{2{Z_1} + 3{Z_2}}}{{2{Z_1} – 3{Z_2}}}} \right|$ ની કિમત મેળવો.