- Home
- Standard 11
- Mathematics
વિધાનો
વિધાન $I$: કોઈ બે શુન્યેતર સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2$
માટે $\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)$ અને
વિધાન $II$ : જો $x, y, z$ એ ત્રણ ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ હોય તથા $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ એ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી હોય કે જેથી
$\frac{\mathrm{a}}{|y-z|}=\frac{\mathrm{b}}{|z-x|}=\frac{\mathrm{c}}{|x-y|}$ તો $\frac{\mathrm{a}^2}{y-z}+\frac{\mathrm{b}^2}{z-x}+\frac{\mathrm{c}^2}{x-y}=1$
વિધાન $I$ અને વિધાન $II$ બન્ને ખોટાં છે
વિઘાન $I$ ખોટુ છે પરંતુ વિધાન $II$ સાયુ છે.
વિધાન $I$ સાયુ છે પરંતુ વિધાન $II$ ખોટુ છે.
વિધાન $I$ અને વિધાન $II$ બન્ને સાયાં છે.
Solution
Statement $I$ :
$\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right|$
Since $\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}\right|+\left|\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right|$
$ \left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq \frac{\left|z_1\right|}{\left|z_1\right|}+\frac{\left|z_2\right|}{\left|z_2\right|} $
$ \left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2$
$\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)\left(\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right|\right) \leq 2\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)$
$\therefore$ statement $I$ is correct
For Statement $II$ :
$ \frac{a}{|y-z|}=\frac{b}{|z-x|}=\frac{c}{|x-y|} $
$ \frac{a^2}{|y-z|^2}=\frac{b^2}{|z-x|^2}=\frac{c^2}{|x-y|^2}=\lambda $
$ a^2=\lambda\left(|y-z|^2\right)=\lambda(y-z)(\bar{y}-\bar{z}) $
$ b^2=\lambda(z-x)(\bar{z}-\bar{x}) \text { and } c^2=\lambda(x-y)(\bar{x}-\bar{y}) $
$ \frac{a^2}{y-z}+\frac{b^2}{z-x}+\frac{c^2}{x-y}=\lambda(\bar{y}-\bar{z}+\bar{z}-\bar{x}+\bar{x}-\bar{y})=0$
Statement $II$ is false
