જો $a, b, c$ એ ત્રણ સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $a^2 + b^2 + c^2 = 0$ અને  $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}&{ab}&{ac}\\
{ab}&{\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}&{bc}\\
{ac}&{bc}&{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}
\end{array}} \right| = K{a^2}{b^2}{c^2}$ તો $K$ ની કિમંત મેળવો.

જો ${x^a}{y^b} = {e^m},{x^c}{y^d} = {e^n},{\Delta _1} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}m&b\\n&d\end{array}\,} \right|\,\,{\Delta _2} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&m\\c&n\end{array}\,} \right|$ અને ${\Delta _3} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}\,} \right|$, તો $x$ અને $y$ ની કિમત મેળવો.

સમીકરણ સંહતિ ${x_2} - {x_3} = 1,\,\, - {x_1} + 2{x_3} = - 2,$ ${x_1} - 2{x_2} = 3$ ના ઉકેલની સંખ્યા મેળવો.

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  0&{x - y}&{x - z} \\ 
  {y - x}&0&{y - z} \\ 
  {z - x}&{z - y}&0 
\end{array}} \right|$ મેળવો.

જો $x = cy + bz,\,\,y = az + cx,\,\,z = bx + ay$ (કે જ્યાં $ x, y, z $ બધા શૂન્ય ન હોય) તો $x = 0$, $y = 0$, $z = 0$ સિવાય નો ઉકેલ હોય તો $ a, b $ અને  $c$  વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.

નિશ્ચાયકની કિમત મેળવો  : $\left|\begin{array}{ccc}2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right|$