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यदि दीर्घवत्त, $x ^{2}+4 y ^{2}=4$ की एक स्पर्शरेखा, इसके दीर्घ अक्ष के छोरों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं को बिन्दुओं $B$ तथा $C$ पर मिलती है, तो $BC$ को व्यास मान कर खींचा गया वत्त निम्न में से किस बिन्दु से होकर जाता है ?
$(-1,1)$
$(1,1)$
$(\sqrt{3}, 0)$
$(\sqrt{2}, 0)$
Solution
$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1 \Rightarrow a=2 \& b=1, \quad$ Let $P(2 \cos \theta, \sin \theta)$
Equation of tangent at $P$ is $(\cos \theta) x+2 \sin \theta y=2$
$\mathrm{B}\left(-2, \frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}\right)$
$C\left(2, \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right)$
$B\left(-2, \cot \frac{\theta}{2}\right)$
$C\left(2, \tan \frac{\theta}{2}\right)$
Equation of circle is
$(x+2)(x-2)+\left(y-\cot \frac{\theta}{2}\right)\left(y-\tan \frac{\theta}{2}\right)=0$
$x^{2}-4+y^{2}-\left(\tan \frac{\theta}{2}+\cot \frac{\theta}{2}\right) y+1=0$
so, $(\sqrt{3}, 0)$ satisfying equation $(1)$
