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यदि सरल रेखाओं $\frac{x}{\alpha } + \frac{y}{\beta } = 1$ तथा $\frac{x}{\beta } + \frac{y}{\alpha } = 1$ के प्रतिच्छेद बिन्दु से एक चर रेखा खींची जाती है जो कि अक्षों को क्रमश:$A$ व $B$ पर मिलती है तो $AB$ के मध्य बिन्दु का बिन्दुपथ होगा
$\alpha \beta (x + y) = xy(\alpha + \beta )$
$\alpha \beta (x + y) = 2xy(\alpha + \beta )$
$(\alpha + \beta )(x + y) = 2\alpha \beta xy$
इनमें से कोई नहीं
Solution
(b) सरल रेखाओं $\frac{x}{\alpha } + \frac{y}{\beta } = 1$ व $\frac{x}{\beta } + \frac{y}{\alpha } = 1$ के प्रतिच्छेद बिन्दु से जाने वाली रेखा का समीकरण
$\left( {\frac{x}{\alpha } + \frac{y}{\beta } – 1} \right) + \lambda \left( {\frac{x}{\beta } + \frac{y}{\alpha } – 1} \right) = 0$
या $x\,\left( {\frac{1}{\alpha } + \frac{\lambda }{\beta }} \right) + y\left( {\frac{1}{\beta } + \frac{\lambda }{\alpha }} \right) – \lambda – 1 = 0$ है।
यह अक्षों को क्रमश: $A{\rm{ }}\left( {\frac{{\lambda + 1}}{{\frac{1}{\alpha } + \frac{\lambda }{\beta }}},0} \right)$ व $B{\rm{ }}\left( {0,\frac{{\lambda + 1}}{{\frac{1}{\beta } + \frac{\lambda }{\alpha }}}} \right)$ पर मिलती है।
माना $(h, k)$, $AB$ का मध्य बिन्दु है, तो $h = \frac{1}{2}.\frac{{\lambda + 1}}{{\frac{1}{\alpha } + \frac{\lambda }{\beta }}},k = \frac{1}{2}.\frac{{\lambda + 1}}{{\frac{1}{\beta } + \frac{\lambda }{\alpha }}}$
इनमें से $\lambda $ का विलोपन करने पर, $2hk(\alpha + \beta ) = \alpha \beta (h + k)$
अत: $(h,k)$का बिन्दुपथ $2xy(\alpha + \beta ) = \alpha \beta (x + y)$ होगा।
