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एक सरल रेखा, $\mathrm{x}$-अक्ष तथा $\mathrm{y}$-अक्ष की धनात्मक दिशाओं पर क्रमशः $\mathrm{OA}=\mathrm{a}$ तथा $\mathrm{OB}=\mathrm{b}$ अंतःखंड़ करती है। यदि मूलबिंदु $\mathrm{O}$ से इस रेखा पर अभिलंब $\mathrm{y}$-अक्ष की धनात्मक दिशा से $\frac{\pi}{6}$ का कोण बनाता है तथा $\triangle \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $\frac{98}{3} \sqrt{3}$ है, तो $\mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2$ बराबर है :
$\frac{392}{3}$
$196$
$\frac{196}{3}$
$98$
Solution
Equation of straight line : $\frac{ x }{ a }+\frac{ y }{ b }=1$
Or $x \cos \frac{\pi}{3}+y \sin \frac{\pi}{3}=p$
$\frac{x}{2}+\frac{y \sqrt{3}}{2}=p$
$\frac{x}{3 p}+\frac{y}{2 p}=1$
Comparing both $: a =2 p , b =\frac{2 p }{\sqrt{3}}$
Now area of $\triangle OAB =\frac{1}{2} \cdot ab =\frac{98}{3} \cdot \sqrt{3}$
$\frac{1}{2} \cdot 2 p \cdot \frac{2 p }{\sqrt{3}}=\frac{98}{3} \cdot \sqrt{3}$
$p^2=49$
$a^2-b^2=4 p^2-\frac{4 p^2}{3}=\frac{2}{3} 4 p^2$
$=\frac{8}{3} \cdot 49=\frac{392}{3}$
