समतल में स्थित किसी बिन्दु P से रेखाओं x

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9.Straight Line

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समतल में स्थित किसी बिन्दु $P$ से रेखाओं $x-y=0$ तथा $x+y=0$ की दूरी क्रमशः $d_1(P)$ तथा $d_2(P)$ है। यदि क्षेत्र $R$ उन सभी बिन्दुओं $P$ से बना है जो प्रथम चतुर्थांश (quadrant) में स्थित है तथा $2 \leq d_1(P)+d_2(P) \leq 4$ को संतुष्ट करते है, तब क्षेत्र $R$ का क्षेत्रफल है।

A

$4$

B

$5$

C

$6$

D

$7$

(IIT-2014)

Solution

let $ p(h, k) $

$2 \leq\left|\frac{h-k}{\sqrt{2}}\right|+\left|\frac{h+k}{\sqrt{2}}\right| \leq 4 $

$\Rightarrow \quad 2 \sqrt{2} \leq|h-k|+|h+k| \leq 4 \sqrt{2} $

$\text { if } \quad h \geq k$

$\Rightarrow \quad 2 \sqrt{2} \leq x-y+x+y \leq 4 \sqrt{2} \quad$ or $\quad \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

similarly when $k > h$

we have $\sqrt{2} \leq y \leq 2 \sqrt{2}$

The required area $=(2 \sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2=6$.

Standard 11

Mathematics

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