Z=α+i β માટે જો |z+2|=z+4(1+i) હોય, તો α+β અને α β એ ......... ?

English

Gujarati

Hindi

4-1.Complex numbers

hard

$z=\alpha+i \beta$ માટે જો $|z+2|=z+4(1+i)$ હોય, તો $\alpha+\beta$ અને $\alpha \beta$ એ $.........$ સમીકરણ ના બીજ છે.

A

$x^2+7 x+12=0$

B

$x^2+3 x-4=0$

C

$x^2+2 x-3=0$

D

$x ^2+ x -12=0$

(JEE MAIN-2023)

Solution

$|z+2|=|\alpha+i \beta+2|$

$=\alpha+i \beta+4+4 i$

$\sqrt{(\alpha+2)^2+\beta^2}=(\alpha+4)+ i (\beta+4)$

$\beta+4=0$

$(\alpha+2)^2+16=(\alpha+4)^2$

$\beta=-4$

$\alpha^2+4+4 \alpha+16=\alpha^2+16+8 \alpha$

$4=4 \alpha$

$\alpha=1$

$\alpha=1, \beta=-4$

$\alpha+\beta=-3, \alpha \beta=-4$

$\text { Sum of roots }=-7$

$\text { Product of roots }=12$

$x^2+7 x+12=0$

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

જો ${z_1}$ અને ${z_2}$ બે સંકર સંખ્યા હોય તો $|{z_1} – {z_2}|$ = . ..

normal

ધારો કે $S=\{z \in C:|z-1|=1$ અને $(\sqrt{2}-1)(z+\bar{z})-i(z-\bar{z})=2 \sqrt{2}\}$.ધારો કે $\mathrm{z}_1, \mathrm{z}_2$ $\in S$ એવી છે કે જેથી $\left|z_1\right|=\max _{z \in S}|z|$ અને $\left|z_2\right|=\min _{z \in S}|z|$. તો $\left|\sqrt{2} z_1-z_2\right|^2$………………..

hard

(JEE MAIN-2024)

જો $\alpha $ અને $\beta $ એ બે ભિન્ન સંકર સંખ્યા છે કે જ્યાં $|\beta | = 1$, તો $\left| {\frac{{\beta – \alpha }}{{1 – \overline \alpha \beta }}} \right|$ ની કિમત મેળવો.

medium

(IIT-1992)

બધા $z \in C$ માટે જો $\left| z \right| = 1$ અને ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \,z \ne 1$ હોય તો $\alpha \in R$ ના ઉકેલગણ મેળવો કે જેથી $w = \frac{{1 + \left( {1 – 8\alpha } \right)z}}{{1 – z}}$ એ શુધ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા થાય.

hard

(JEE MAIN-2018)

જો ${z_1}$ અને ${z_2}$ એ બે સંકર સંખ્યા હોય ${z_1} \ne {z_2}$ અને $|{z_1}|\, = \,|{z_2}|$ છે. જો ${z_1}$ ને ધન વાસ્તવિક ભાગ છે અને ${z_2}$ ઋણ કાલ્પનિક ભાગ છે ,તો $\frac{{({z_1} + {z_2})}}{{({z_1} – {z_2})}}$ એ . . . થાય.

hard

(IIT-1986)