જો {z_1} અને {z_2} એ બે સંકર સંખ્યા હોય {z_1} | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(a)Let ${z_1} = a + ib = (a,b)$and ${z_2} = c - id = (c, - d)$
Where $a > 0$and $d > 0$ ......$(i)$
Then $|{z_1}| = |{z_2}|$ $&rArr;$&nbs

Vedclass · Accepted Answer

શુદ્ધ કાલ્પનિક

Vedclass · Answer

(a)Let ${z_1} = a + ib = (a,b)$and ${z_2} = c - id = (c, - d)$
Where $a > 0$and $d > 0$ ......$(i)$
Then $|{z_1}| = |{z_2}|$ $&rArr;$  ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}$
Now $\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}} = \frac{{(a + ib) + (c - id)}}{{(a + ib) - (c - id)}}$
$ = \frac{{[(a + c) + i(b - d)][(a - c) - i(b + d)]}}{{[(a - c) + i(b + d)][(a - c) - i(b + d)]}}$
$ = \frac{{({a^2} + {b^2}) - ({c^2} + {d^2}) - 2(ad + bc)i}}{{{a^2} + {c^2} - 2ac + {b^2} + {d^2} + 2bd}}$ $\frac{{ - (ad + bc)i}}{{{a^2} + {b^2} - ac + bd}}$[using $(i)$]

$	herefore $$\frac{{({z_1} + {z_2})}}{{({z_1} - {z_2})}}$ is purely imaginary.

However if $ad + bc = 0$, then $\frac{{({z_1} + {z_2})}}{{({z_1} - {z_2})}}$ will be equal to zero. According to the conditions of the equation, we can have $ad + bc = 0$
Trick : Assume any two complex numbers satisfying both conditions i.e., ${z_1} 
e {z_2}$and $|{z_1}|\, = \,|{z_2}|$
Let ${z_1} = 2 + i,{z_2} = 1 - 2i,$

$	herefore \,\,\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}} = \frac{{3 - i}}{{1 + 3i}} = - i$
Hence the result.

Similar Questions

જો $A$ અને $B$ એ ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ હોય તથા $|\beta|=1,$ તો $\left|\frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}\right|$ ની કિંમત શોધો.

જો ${z_1} = 10 + 6i,{z_2} = 4 + 6i$ અને $z$ એ સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $amp\left( {\frac{{z - {z_1}}}{{z - {z_2}}}} \right) = \frac{\pi }{4},$ તો $|z - 7 - 9i|$ = . . .

જો $a > 0$ અને $z = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}}{{a - i}}$ જેનો માનક $\sqrt {\frac{2}{5}} $ થાય તો $\bar z$ ની કિમત મેળવો.

જો $z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) < 0$, તો $arg(z)$ = . . .. .

$\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}$ નો માનાંક શોધો.