જો {z_1} અને {z_2} એ બે સંકર સંખ્યા હોય {z_1} | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(a)Let ${z_1} = a + ib = (a,b)$and ${z_2} = c - id = (c, - d)$
Where $a > 0$and $d > 0$ ......$(i)$
Then $|{z_1}| = |{z_2}|$ $&rArr;$&nbs

Vedclass · Accepted Answer

શુદ્ધ કાલ્પનિક

Vedclass · Answer

(a)Let ${z_1} = a + ib = (a,b)$and ${z_2} = c - id = (c, - d)$
Where $a > 0$and $d > 0$ ......$(i)$
Then $|{z_1}| = |{z_2}|$ $&rArr;$  ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}$
Now $\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}} = \frac{{(a + ib) + (c - id)}}{{(a + ib) - (c - id)}}$
$ = \frac{{[(a + c) + i(b - d)][(a - c) - i(b + d)]}}{{[(a - c) + i(b + d)][(a - c) - i(b + d)]}}$
$ = \frac{{({a^2} + {b^2}) - ({c^2} + {d^2}) - 2(ad + bc)i}}{{{a^2} + {c^2} - 2ac + {b^2} + {d^2} + 2bd}}$ $\frac{{ - (ad + bc)i}}{{{a^2} + {b^2} - ac + bd}}$[using $(i)$]

$	herefore $$\frac{{({z_1} + {z_2})}}{{({z_1} - {z_2})}}$ is purely imaginary.

However if $ad + bc = 0$, then $\frac{{({z_1} + {z_2})}}{{({z_1} - {z_2})}}$ will be equal to zero. According to the conditions of the equation, we can have $ad + bc = 0$
Trick : Assume any two complex numbers satisfying both conditions i.e., ${z_1} 
e {z_2}$and $|{z_1}|\, = \,|{z_2}|$
Let ${z_1} = 2 + i,{z_2} = 1 - 2i,$

$	herefore \,\,\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}} = \frac{{3 - i}}{{1 + 3i}} = - i$
Hence the result.

Similar Questions

જો $\alpha $ અને $\beta $ એ બે ભિન્ન સંકર સંખ્યા છે કે જ્યાં $|\beta | = 1$, તો $\left| {\frac{{\beta - \alpha }}{{1 - \overline \alpha \beta }}} \right|$ ની કિમત મેળવો.

$arg\,(5 - \sqrt 3 i) = $

જો $z_1$ અને $z_2$ એ બે સંકર સંખ્યાઓ છે કે જેથી $z_1^2 + z_2^2 = 5,$ હોય તો ${\left( {{z_1} - {{\bar z}_1}} \right)^2} + {\left( {{z_2} - {{\bar z}_2}} \right)^2}$ ની કિમત મેળવો

$0$ નો કોણાંક મેળવો.