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यदि $f(x) = 2x - {x^2}$ के लिए अन्तराल $[0, 1]$ में लैगरांज प्रमेय सत्यापित है, तो $c$ का मान, जो कि $[0,\,1]$ में होगा, है
$c = 0$
$c = \frac{1}{2}$
$c = \frac{1}{4}$
$c = 1$
Solution
(b) यहाँ $\frac{{f(b) – f(a)}}{{b – a}} = f'(c)$
==> $\frac{{1 – 0}}{{1 – 0}} = 2 – 2c$ $\left\{ \begin{array}{l} \because b = 1,a = 0\\ \Rightarrow f(1) = 1,\,f(0) = 0\end{array} \right\}$
==> $ – 2c = – 1$ ==> $c = \frac{1}{2}$ $\left\{ \begin{array}{l} \because f'(x) = 2 – 2x\\f'(c) = 2 – 2c\end{array} \right\}$
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माना कि $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ संतत फलन है जो की अंतराल $(-1,2)$ में दो बार अवकलनीय (twice differentiable) है। माना कि $f$ और $g$ के मान, बिन्दुओं $-1,0$ और $2$ पर निम्न सारणी में दर्शाए गए है –
| $x=-1$ | $x=0$ | $x=2$ | |
| $f(x)$ | $3$ | $6$ | $0$ |
| $g(x)$ | $0$ | $1$ | $-1$ |
यदि प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $( f -3 g )$ " कभी भी शून्य का मान नही लेता है, तव सही कथन है (हैं)
$(A)$ $(-1,0) \cup(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के तीन ही हल (exactly three solutions) हैं
$(B)$ $(-1,0)$ में, $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ के एक ही हल (exactly one solutions) है
$(C)$ $(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के एक ही हल (exactly one solution ) है
$(D)$ $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ को $(-1,0)$ में दो ही हल (exactly two solutions) है और $(0,2)$ में दो ही हल है
