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यदि द्विपद ${\left[ {\sqrt {{2^{\log (10 - {3^x})}}} + \sqrt[5]{{{2^{(x - 2)\log 3}}}}} \right]^m}$ के प्रसार में $6$ वां पद $21$ के बराबर है तथा यह ज्ञात है कि प्रसार में दूसरे, तीसरे तथा चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमश: समान्तर श्रेणी के प्रथम, तृतीय तथा पंचम पद हैं. (संकेत $log$ आधार $10$ के सापेक्ष लघुगणक के लिये प्रयुक्त है), तब $x = $
$0$
$1$
$2$
$a$ ओर $c$ दोनो
Solution
(d) चूंकि ${T_2},{T_3},{T_4}$ के गुणांक $^m{C_1},$$^m{C_2}$ तथा $^m{C_3}$ समान्तर श्रेणी के प्रथम, तृतीय तथा पंचम पद है जो कि उभयनिष्ठ सार्वअंतर $2d$ वाली समान्तर श्रेणी भी होगी।
अत: $2$ $^m{C_2}{ = ^m}{C_1}{ + ^m}{C_3} \Rightarrow (m – 2)(m – 7) = 0$.
चूंकि $6$ वां पद $21$ है $m = 2$ नियम के विरूद्ध है अत: हम $m = 7$ लेते हैं तथा
${T_6} = 21{ = ^7}{C_5}{\left[ {\sqrt {{2^{\log (10 – {3^x})}}} } \right]^{7 – 5}} \times {\left[ {\sqrt[5]{{{2^{(x – 2)}}\log 3}}} \right]^5}$
$ \Rightarrow $$21 = 21.\,{2^{\log (10 – {3^x}) + \log {3^{x – 2}}}}$
==> ${2^{\log [(10 – {3^x})\,\,{3^{x – 2}}]}} = 1 = {2^0}$
सरल करने पर, $x = 0, 2$.
