यदि द्विपद ${\left[ {\sqrt {{2^{\log (10 - {3^x})}}} + \sqrt[5]{{{2^{(x - 2)\log 3}}}}} \right]^m}$ के प्रसार में $6$ वां पद $21$ के बराबर है तथा यह ज्ञात है कि प्रसार में दूसरे, तीसरे तथा चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमश: समान्तर श्रेणी के प्रथम, तृतीय तथा पंचम पद हैं. (संकेत $log$ आधार $10$ के सापेक्ष लघुगणक के लिये प्रयुक्त है), तब $x = $

यदि $n$, बहुपद ${\left[ {\frac{1}{{\sqrt {5{x^3} + 1}  - \sqrt {5{x^3} - 1} }}} \right]^8} $$+ {\left[ {\frac{1}{{\sqrt {5{x^3} + 1}  + \sqrt {5{x^3} - 1} }}} \right]^8}$ की घात है, तथा $m$ इसमें स्थित $x ^{ n }$ का गुणांक है, तो क्रमित युग्म $( n , m )$ बराबर है $:$

दिया गया है कि ${\left( {2 + \frac{3}{8}x} \right)^{10}}$ के प्रसार में चौथा पद महत्त्म संख्यात्मक मान रखता है, तो इसके लिये $x$ के मान का परास होगा

यदि $\left(\sqrt{ x }-\frac{ k }{ x ^{2}}\right)^{10}$ के द्विपद प्रसार में अचर में पद $405$ , है तो $| k |$ बराबर है 

$\alpha>0, \beta>0$ ऐसा हो कि $\alpha^{3}+\beta^{2}=4$ हो। यदि $\left(\alpha x^{\frac{1}{9}}+\beta x^{-\frac{1}{6}}\right)^{10}$ के द्विपदीय विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $10 k$ है, तो $k$ बराबर है

${\left( {2x - \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^{12}}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद है