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7.Binomial Theorem
medium
यदि ${(1 + x)^{2n + 2}}$ के प्रसार में मध्य पद का गुणांक $p$ है तथा ${(1 + x)^{2n + 1}}$ के प्रसार में मध्य पदों के गुणांक $q$ तथा $r$ हैं, तब
A
$p + q = r$
B
$p + r = q$
C
$p = q + r$
D
$p + q + r = 0$
Solution
चूंकि ${(1 + x)^{2n + 2}}$ के प्रसार में मध्य पद (n+2)वां पद है इसलिए $p = {\,^{2n + 2}}{C_{n + 1}}$.
चूंकि $(1+x)^{2n+1}$ के प्रसार में मध्य पद $(n+1)$वां तथा $(n+2)$वां पद है इसलिए $q = {\,^{2n + 1}}{C_n}$ एवं $r = {\,^{2n + 1}}{C_{n + 1}}$ लेकिन $^{2n + 1}{C_n} + {\,^{2n + 1}}{C_{n + 1}} = {\,^{2n + 2}}{C_{n + 1}}$
$\therefore \,\,\,q + r = p$
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