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7.Binomial Theorem
medium
यदि ${(1 + x)^{2n}}$ के विस्तार में दूसरा, तीसरा तथा चौथा पद समान्तर श्रेणी में हैं, तो $2{n^2} - 9n + 7$ का मान होगा
A
$-1$
B
$0$
C
$1$
D
$3\over2$
Solution
${T_2} = {}^{2n}{C_1}\,\,x$, ${T_3} = {}^{2n}{C_2}\,\,{x^2}$, ${T_4} = {}^{2n}{C_3}\,\,{x^3}$
$T_2, T_3, T_4$ के गुणांक समान्तर श्रेणी में हैं।
$⇒2.{}^{2n}{C_2} = {}^{2n}{C_1} + {}^{2n}{C_3}$
$⇒2\frac{{2n!}}{{2\,!\,(2n – 2)\,!}} = \frac{{2n!}}{{(2n – 1)\,!}} + \frac{{2n!}}{{3\,!\,(2n – 3)\,!}}$
$⇒\frac{{2\,.\,2n(2n – 1)}}{2} = 2n + \frac{{\,2n(2n – 1)(2n – 2)}}{6}$
$⇒n(2n – 1) = n + \frac{{(n)(2n – 1)(2n – 2)}}{6}$
$⇒6(2{n^2} – n) = 6n + 4{n^3} – 6{n^2} + 2n$
$⇒6n(2n – 1) = 2n(2{n^2} – 3n + 4)$
$⇒6n – 3 = 2{n^2} – 3n + 4$
$⇒0 = 2{n^2} – 9n + 7$
$2{n^2} – 9n + 7 = 0$.
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