જો વિધેય $f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{x-1}{2 x+3}\right)$ નો પ્રદેશ ${R}-(\alpha, \beta)$ હોય, તો $12 \alpha \beta=$..............

ધારો કે $\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ એ નીચે આપેલ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે.

$f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y), f\left(\frac{1}{2}\right)=-1 $ તો  $\sum_{\mathrm{k}=1}^{20} \frac{1}{\sin (\mathrm{k}) \sin (\mathrm{k}+\mathrm{f}(\mathrm{k}))}$ ની કિમંત મેળવો.

ધારોકે $f: R \rightarrow R$ એ કોઈ $m$ માટે વ્યાખ્યાયિત એવુ વિધેય છે કે જયાં $f(x)=\log _{\sqrt{m}}\{\sqrt{2}(\sin x-\cos x+m-2)\}$ અને $f$ નો વિસ્તાર $[0,2]$ છે. તો $m$ નું મૂલ્ય $.........$ છે.

જો $f(x) = \frac{{\alpha x}}{{x + 1}},x \ne - 1$, તો $\alpha $ ની . . . . કિમત માટે $f(f(x)) = x$ મળે.

$f(x)=\frac{2 x}{\sqrt{1+9 x^2}}$ પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ધ્યાને લો. જો $f$ નું સંયોજન $\underbrace{(f \circ f \circ f \circ \cdots \circ f)}_{1090 \cdots+1}(x)=\frac{2^{10} x}{\sqrt{1+9 \alpha x^2}}$ હોય, તો $\sqrt{3 \alpha+1}$ નું મૂલ્ચ .......... છે.

ધારો કે  $f : R \rightarrow R$ એ સતત વિધેય છે કે જેથી $f(3 x)-f(x)=x$ છે જો $f(8)=7$ હોય તો  $f(14)$ ની કિમંત મેળવો.