यदि दीर्घवृत्त $\frac{ x ^2}{ a ^2}+\frac{ y ^2}{ b ^2}=1$, रेखा $\frac{ x }{7}+\frac{ y }{2 \sqrt{6}}=1$ को $x$-अक्ष पर तथा रेखा $\frac{ x }{7}-\frac{ y }{2 \sqrt{6}}=1$ को $y$-अक्ष पर मिलता है, तो दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता है।

ऐसी दो सरल रेखाओं (straight lines) पर विचार कीजिये, जिनमें से प्रत्येक, वृत्त (circle) $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ और परवलय (parabola) $y^2=4 x$ दोनों पर ही स्पर्शी (tangent) है। माना कि ये रेखाएं बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद (intersect) करती हैं। एक ऐसे दीर्घवृत्त (ellipse) पर विचार कीजिये जिसका केंद्र (centre) मूलर्बिंदु (origin) $O(0,0)$ पर है और जिसका अर्ध-दीर्घाक्ष (semi-major axis) $O Q$ है। यदि इस दीर्घवृत के लघु अक्ष (minor axis) की लम्बाई $\sqrt{2}$ है, तब निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?

$(A)$ दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता (eccentricity) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और नाभिलम्ब जीवा (latus rectum) की लम्बाई 1 है

$(B)$ दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ है और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई $\frac{1}{2}$ है

$(C)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध (bounded) क्षेत्र (region) का क्षेत्रफल (area) $\frac{1}{4 \sqrt{2}}(\pi-2)$ है

$(D)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi-2)$ है

उस दीर्घवृत्त का समीकरण जिसके शीर्ष $( \pm 5,\;0)$ तथा नाभियाँ  $( \pm 4,\;0)$ हैं, होगा

$\lambda $ के किस मान के लिए, रेखा $2x - \frac{8}{3}\lambda y =  - 3$ शांकव ${x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ का अभिलम्ब है

दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1$ की नाभिलम्ब जीवा के सिरों पर स्पर्शियों से निर्मित चतुभ्र्ज का क्षेत्रफल ............. वर्ग इकाई होगा

यदि दीर्घवृत्त $3 x ^{2}+4 y ^{2}=12$ के एक बिन्दु $P$ पर अभिलम्ब, रेखा $2 x + y =4$ के समान्तर है तथा $P$ पर दीर्घवृत की स्पर्श रेखा $Q (4,4)$ से होकर जाती है, तो $PQ$ बराबर हैं