अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ पर दो बिन्दु $P(a\sec \theta ,\;b\tan \theta )$ और $Q(a\sec \phi ,\;b\tan \phi )$ हैं, जहाँ $\theta + \phi = \frac{\pi }{2}$ है। यदि $P$ और $Q$ पर अभिलम्ब एक दूसरे को बिन्दु $(h, k)$ पर काटते हैं, तो $k$ का मान है
अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ पर दो बिन्दु $P(a\sec \theta ,\;b\tan \theta )$ और $Q(a\sec \phi ,\;b\tan \phi )$ हैं, जहाँ $\theta + \phi = \frac{\pi }{2}$ है। यदि $P$ और $Q$ पर अभिलम्ब एक दूसरे को बिन्दु $(h, k)$ पर काटते हैं, तो $k$ का मान है
- [IIT 1968]
- A
$\frac{{{a^2} + {b^2}}}{a}$
- B
$ - \left( {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{a}} \right)$
- C
$\frac{{{a^2} + {b^2}}}{b}$
- D
$ - \left( {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{b}} \right)$
Similar Questions
दीर्घवृत्त $\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{9} + \frac{{{{(y + 1)}^2}}}{{25}} = 1$ की उत्केन्द्रता है
दीर्घवृत्त $\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{9} + \frac{{{{(y + 1)}^2}}}{{25}} = 1$ की उत्केन्द्रता है
माना कि $F_1\left(x_1, 0\right)$ और $F_2\left(x_2, 0\right)$ (जिसमें $x_1<0, x_2>0$ ) दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x_2^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ की नाभियाँ (Foci) हैं। माना कि एक परवलय (parabola) जिसका शीर्ष (vertex) मूलबिन्दु (origin) पर और नाभि (focus) $F_2$ पर है, दीर्घवृत्त को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में $M$ पर और चतुर्थ चतुर्थांश (fourth quadrant) में $N$ पर प्रतिच्छेदित करता है।
($1$) त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेन्द्र (orthocentre) है
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right).$
($2$) यदि दीर्घवृत्त के बिन्दुओं $M$ और $N$ पर स्परिखाएँ (tangents) $R$ पर मिलती हैं और परवलय के बिन्दु $M$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है, तब त्रिभुज $M Q R$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज (quadrilateral) $M F_1 N F_2$ के क्षेत्रफल का अनुपात (ratio) है
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $\sec 5: 8$ $(D)$ $2: 3$
दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)
माना कि $F_1\left(x_1, 0\right)$ और $F_2\left(x_2, 0\right)$ (जिसमें $x_1<0, x_2>0$ ) दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x_2^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ की नाभियाँ (Foci) हैं। माना कि एक परवलय (parabola) जिसका शीर्ष (vertex) मूलबिन्दु (origin) पर और नाभि (focus) $F_2$ पर है, दीर्घवृत्त को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में $M$ पर और चतुर्थ चतुर्थांश (fourth quadrant) में $N$ पर प्रतिच्छेदित करता है।
($1$) त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेन्द्र (orthocentre) है
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right).$
($2$) यदि दीर्घवृत्त के बिन्दुओं $M$ और $N$ पर स्परिखाएँ (tangents) $R$ पर मिलती हैं और परवलय के बिन्दु $M$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है, तब त्रिभुज $M Q R$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज (quadrilateral) $M F_1 N F_2$ के क्षेत्रफल का अनुपात (ratio) है
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $\sec 5: 8$ $(D)$ $2: 3$
दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)
- [IIT 2016]
माना दीर्घवृत्त $9 x^2+4 y^2=36$ पर चार बिंदु $\mathrm{P}\left(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}}\right), \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ तथा $\mathrm{S}$ हैं। माना रेखाखंड $\mathrm{PQ}$ तथा $\mathrm{RS}$ परस्पर लंबवत है तथा मूलबिंदु से होकर जाते हैं। यदि $\frac{1}{(\mathrm{PQ})^2}+\frac{1}{(\mathrm{RS})^2}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$, जहाँ $\mathrm{p}$ तथा $q$ असहभाज्य है, तो $\mathrm{p}+\mathrm{q}$ बराबर है :
माना दीर्घवृत्त $9 x^2+4 y^2=36$ पर चार बिंदु $\mathrm{P}\left(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}}\right), \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ तथा $\mathrm{S}$ हैं। माना रेखाखंड $\mathrm{PQ}$ तथा $\mathrm{RS}$ परस्पर लंबवत है तथा मूलबिंदु से होकर जाते हैं। यदि $\frac{1}{(\mathrm{PQ})^2}+\frac{1}{(\mathrm{RS})^2}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$, जहाँ $\mathrm{p}$ तथा $q$ असहभाज्य है, तो $\mathrm{p}+\mathrm{q}$ बराबर है :
- [JEE MAIN 2023]
ऐसी दो सरल रेखाओं (straight lines) पर विचार कीजिये, जिनमें से प्रत्येक, वृत्त (circle) $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ और परवलय (parabola) $y^2=4 x$ दोनों पर ही स्पर्शी (tangent) है। माना कि ये रेखाएं बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद (intersect) करती हैं। एक ऐसे दीर्घवृत्त (ellipse) पर विचार कीजिये जिसका केंद्र (centre) मूलर्बिंदु (origin) $O(0,0)$ पर है और जिसका अर्ध-दीर्घाक्ष (semi-major axis) $O Q$ है। यदि इस दीर्घवृत के लघु अक्ष (minor axis) की लम्बाई $\sqrt{2}$ है, तब निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?
$(A)$ दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता (eccentricity) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और नाभिलम्ब जीवा (latus rectum) की लम्बाई 1 है
$(B)$ दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ है और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई $\frac{1}{2}$ है
$(C)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध (bounded) क्षेत्र (region) का क्षेत्रफल (area) $\frac{1}{4 \sqrt{2}}(\pi-2)$ है
$(D)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi-2)$ है
ऐसी दो सरल रेखाओं (straight lines) पर विचार कीजिये, जिनमें से प्रत्येक, वृत्त (circle) $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ और परवलय (parabola) $y^2=4 x$ दोनों पर ही स्पर्शी (tangent) है। माना कि ये रेखाएं बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद (intersect) करती हैं। एक ऐसे दीर्घवृत्त (ellipse) पर विचार कीजिये जिसका केंद्र (centre) मूलर्बिंदु (origin) $O(0,0)$ पर है और जिसका अर्ध-दीर्घाक्ष (semi-major axis) $O Q$ है। यदि इस दीर्घवृत के लघु अक्ष (minor axis) की लम्बाई $\sqrt{2}$ है, तब निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?
$(A)$ दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता (eccentricity) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और नाभिलम्ब जीवा (latus rectum) की लम्बाई 1 है
$(B)$ दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ है और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई $\frac{1}{2}$ है
$(C)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध (bounded) क्षेत्र (region) का क्षेत्रफल (area) $\frac{1}{4 \sqrt{2}}(\pi-2)$ है
$(D)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi-2)$ है
- [IIT 2018]
दीर्घवृत्त, जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर है, की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ है। यदि एक नियता $x = 4$ है तब दीर्घवृत्त का समीकरण है
दीर्घवृत्त, जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर है, की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ है। यदि एक नियता $x = 4$ है तब दीर्घवृत्त का समीकरण है
- [AIEEE 2004]