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दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ व वृत्त ${x^2} + {y^2} = ab$ का प्रतिच्छेद कोण है
${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{a - b}}{{ab}}} \right)$
${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{a + b}}{{ab}}} \right)$
${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }}} \right)$
${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{a - b}}{{\sqrt {ab} }}} \right)$
Solution
(d) $\frac{{ab – {y^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$
या ${y^2}\left( {\frac{{{a^2} – {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}} \right) = \frac{{a – b}}{a}$
या ${y^2} = \left( {\frac{{a{b^2}}}{{a + b}}} \right)$
व ${x^2} = \left( {\frac{{{a^2}b}}{{a + b}}} \right)$
$ \Rightarrow \,(x,\,y) = \left( {a\sqrt {\frac{b}{{a + b}}} ,b\sqrt {\frac{a}{{a + b}}} } \right)$
दीर्घवृत्त की स्पर्श की प्रवणता $ = \frac{{ – {b^2}x}}{{{a^2}y}} = \frac{{ – {b^2}}}{{{a^2}}}\sqrt {\frac{a}{b}} $
वृत्त की स्पर्श की प्रवणता $ = – \frac{x}{y} = – \sqrt {\frac{a}{b}} $
$\therefore \theta = {\tan ^{ – 1}}\left[ {\frac{{ – \sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\sqrt {\frac{a}{b}} }}{{1 + \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}.\frac{a}{b}}}} \right]$
अर्थात् , $\theta = {\tan ^{ – 1}}\left[ {\frac{{a – b}}{{\sqrt {ab} }}} \right]$.
