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यदि फलन $f(x) = {x^3} - 6a{x^2} + 5x$ अन्तराल $ [1, 2]$ के लिए लेगराँज मध्यमान प्रमेय की शर्तों को सन्तुष्ट करता है और वक्र $y = f(x)$ की $x = \frac{7}{4}$ पर स्पर्श रेखा, वक्र की कोटियों $x = 1$ व $x = 2$ से प्रतिच्छेद बिन्दुओं को मिलाने वाली जीवा के समान्तर है, तब $a$ का मान है
$\frac{{35}}{{16}}$
$\frac{{35}}{{48}}$
$\frac{7}{{16}}$
$\frac{5}{{16}}$
Solution
(b) $f(b) = f(2) = 8 – 24a + 10 = 18 – 24a$
$f(a) = f(1) = 1 – 6a + 5 = 6 – 6a$
$f'(x) = 3{x^2} – 12ax + 5$
लैगरांज मध्यमान प्रमेय से,
$f'(x) = \frac{{f(b) – f(a)}}{{b – a}}$$ = \frac{{18 – 24a – 6 + 6a}}{{2 – 1}}$
$\therefore f'(x) = 12 – 18a$
$x = \frac{7}{4}$ पर, $3 \times \frac{{49}}{{16}} – 12a \times \frac{7}{4} + 5 = 12 – 18a$
==> $3a = \frac{{147}}{{16}} – 7$
==> $3a = \frac{{35}}{{16}}$ ==> $a = \frac{{35}}{{48}}$.
