अन्तराल $\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ में फलन $f(x) = {e^{ - 2x}}$ $sin 2x $है। रोले प्रमेय के अनुसार एक वास्तविक संख्या $c \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ इस प्रकार है कि $f'\,(c) = 0$, तब 

यदि फलन $f(x)=2 x^{3}+ a x^{2}+ b x$ के लिए अंतराल $[-1,1]$ में बिंदु $c =\frac{1}{2}$ पर रोले का प्रमेय लागू है, तो $2 a + b$ का मान है

माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)=x^{2}-4 x-3,$ जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।

फलन$f(x) = {x^3} - 6{x^2} + ax + b$ रोले प्रमेय की सभी शर्तो को अंतराल $[1, 3]$  में सन्तुष्ट करता है तब $ a $ और $ b$  के क्रमश: मान हैं

फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।:

$(i)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[5,9]$

$(ii)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[-2,2]$

$(iii)$ $f(x)=x^{2}-1$ के लिए $x \in[1,2]$

फलन$f(x) = x(x + 3){e^{ - (1/2)x}}$ रोले प्रमेय की सभी शर्तों को  $[-3, 0] $ में सन्तुष्ट करता है। $c$  का मान है