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फलन $f(x)$ मध्यमान प्रमेय की सभी शर्तो को अंतराल $ [0, 2] $ में सन्तुष्ट करता है। यदि $ f (0) = 0 $ और अंतराल $ [0, 2] $ में $x $ के सभी मानों के लिये $|f'(x)|\, \le \frac{1}{2}$, तब
$f(x) \le 2$
$|f(x)| \le 1$
$f(x) = 2x$
$[0, 2] $ में $ x $ के कम से कम एक मान के लिये $f(x) = 3$
Solution
(b) $\frac{{f(2) – f(0)}}{{2 – 0}} = f'(x) \Rightarrow \frac{{f(2) – 0}}{2} = f'(x)$
$ \Rightarrow \frac{{df(x)}}{{dx}} = \frac{{f(2)}}{2} \Rightarrow f(x) = \frac{{f(2)}}{2}x + c$
$\therefore f(0) = 0 \Rightarrow c = 0$;
$\therefore f(x) = \frac{{f(2)}}{2}x$…..$(i)$
दिया है, $|f'(x)| \le \frac{1}{2} \Rightarrow \left| {\frac{{f(2)}}{2}} \right| \le \frac{1}{2}$…..$(ii)$
$(i)$ ==> $|f(x)| = \left| {\frac{{f(2)}}{2}x} \right| = \left| {\frac{{f(2)}}{2}} \right||x| \le \frac{1}{2}|x|$, [$(ii)$ से]
अंतराल $[0, 2]$ में, अधिकतम $x$ के लिए $(x = 2)$,
$|f(x)| \le \frac{1}{2}.\,\,\,2 \Rightarrow |f(x)| \le 1$.
