જો સમીકરણ સંહિત   $2 x+3 y-z=5$  ;  $x+\alpha y+3 z=-4$  ;  $3 x-y+\beta z=7$ ને અસંખ્ય  ઉકેલો હોય, તો  $13 \alpha \beta$=____________. 

$\lambda$ ની કેટલી વાસ્તવિક કિમંતો માટે સમીકરણ સંહતિઓ $2 x-3 y+5 z=9$ ; $x+3 y-z=-18$ ; $3 x-y+\left(\lambda^{2}-1 \lambda \mid\right) z=16$ નો ઉકેલ ખાલીગણ થાય.

જો સમીકરણની સંહતિ $3x - 2y + z = 0$, $\lambda x - 14y + 15z = 0$, $x + 2y + 3z = 0$ ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય, તો $\lambda $ ની કિમત મેળવો.

સુરેખ સમીકરણ સંહતિ  $a x+y+z=1$, $x+a y+z=1, x+y+a z=\beta$ માટે,નીચેના પૈકી કયું વિધાન સાચું નથી?

જો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right| = 5$; તો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}}&{{c_2}{a_3} - {c_3}{a_2}}&{{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}}\\{{b_3}{c_1} - {b_1}{c_3}}&{{c_3}{a_1} - {c_1}{a_3}}&{{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}}\\{{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}}&{{c_1}{a_2} - {c_2}{a_1}}&{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}\end{array}\,} \right|$ = . . .

સમીકરણની સંહતિ $(k + 1)x + 8y = 4k,$ $kx + (k + 3)y = 3k - 1$ ને અનંત ઉકેલ હોય, તો $k$ ની કિમત મેળવો.