જો રેખીય સમીકરણો x + y+ z = 5 ; x + 2y + 3z = 9 ; x + 3y + α z =

English

Gujarati

Hindi

3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

જો રેખીય સમીકરણો $x + y+ z = 5$ ; $x + 2y + 3z = 9$ ; $x + 3y + \alpha z = \beta $ એ અનંત ઉકેલ ધરાવે છે તો $\beta - \alpha $ મેળવો.

$21$

$8$

$18$

$5$

(JEE MAIN-2019)

Solution

$x + y – z = 5$

$x + 2y + 3z = 9,$

$x + 3y + \alpha z = \beta $

$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&2&3\\
1&3&0
\end{array}} \right| = 0 \Rightarrow \left( {2\alpha – 9} \right) + \left( {3 – \alpha } \right) + \left( {3 – 2} \right) = 0 \Rightarrow \alpha = 5$

Now, ${D_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&5\\
1&2&9\\
1&3&\beta
\end{array}} \right| = 0 \Rightarrow 2\beta – 27 + 9\beta – 5\left( {3 – 2} \right) = 0 \Rightarrow \beta = 13$

$ \Rightarrow $ at $\alpha = 5,b = 13$ above $3$ planes from common line

Standard 12

Mathematics

જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha &2\\2&\alpha \end{array}} \right]$ અને $|{A^3}|$=125, તો $\alpha = $

easy

(IIT-2004)

$\mathrm{A}$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક હોય, તો $|\mathrm{k A}|$ $=$ ……..

medium

$(3, 8), (-4, 2)$ અને $(5, 1)$ શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

easy

વિધાન $-1$ : સમીકરણો $x + \left( {\sin \,\alpha } \right)y + \left( {\cos \,\alpha } \right)z = 0$ ;$x + \left( {\cos \,\alpha } \right)y + \left( {\sin \alpha } \right)z = 0$ ;$x – \left( {\sin \,\alpha } \right)y – \left( {\cos \alpha } \right)z = 0$ ; ને શૂન્યતર ઉકેલ એ $\alpha $ ની માત્ર એકજ કિમત કે જે અંતરાલ $\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)$ તેના માટે ધરાવે છે .

વિધાન $-2$ : સમીકરણ કે જે $\alpha $ સ્વરૂપ માં છે

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha } \\
{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha } \\
{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{ – \sin {\mkern 1mu} \alpha }&{ – \cos {\mkern 1mu} \alpha }
\end{array}} \right| = 0$

નું એક માત્ર બીજ અંતરાલ $\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)$ માં છે .

hard

(JEE MAIN-2013)

જો સમીકરણ સંહતી $\alpha x+y+z=5, x+2 y+$ $3 z=4, x+3 y+5 z=\beta$ને અસંખ્ય ઉકેલો હોય તો,ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta)=\dots\dots\dots\dots$