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यदि समीकरण निकाय $x+y+z=5$, $x+2 y+3 z=9$, $x+3 y+\alpha z=\beta$ के असंख्य हल हैं, तो $\beta-\alpha$ बराबर है
$21$
$8$
$18$
$5$
Solution
$x + y – z = 5$
$x + 2y + 3z = 9,$
$x + 3y + \alpha z = \beta $
$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&2&3\\
1&3&0
\end{array}} \right| = 0 \Rightarrow \left( {2\alpha – 9} \right) + \left( {3 – \alpha } \right) + \left( {3 – 2} \right) = 0 \Rightarrow \alpha = 5$
Now, ${D_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&5\\
1&2&9\\
1&3&\beta
\end{array}} \right| = 0 \Rightarrow 2\beta – 27 + 9\beta – 5\left( {3 – 2} \right) = 0 \Rightarrow \beta = 13$
$ \Rightarrow $ at $\alpha = 5,b = 13$ above $3$ planes from common line
Similar Questions
माना कि $\alpha, \beta$ एवं $\gamma$ वास्तविक संख्याएं (real numbers) हैं। निम्न रैखिक समीकरण निकाय (system of linear equations) पर विचार कीजिए।
$x+2 y+z=7$
$x+\alpha z=11$
$2 x-3 y+\beta z=\gamma$
List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-$II$ की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।
| List – $I$ | List – $II$ |
| ($P$)यदि $\beta=\frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ एवं $\gamma=28$, तब निकाय का(के) | ($1$) क अद्वितीय हल (unique solution) है |
| ($Q$)यदि $\beta=\frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ एवं $\gamma \neq 28$, तब निकाय का(के) | ($2$)कोई हल नहीं है |
|
($R$) Iयदि $\beta \neq \frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ जहाँ $\alpha=1$ एवं $\gamma \neq 28$, तब निकाय का(के) |
($3$)अनंत हल हैं |
| ($S$) यदि $\beta \neq \frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ जहाँ $\alpha=1$ एवं $\gamma=28$, तब निकाय का(के) | ($4$) $x=11, y=-2$ एवं $z=0$ एक हल है |
| ($5$) $x=-15, y=4$ एवं $z=0$ एक हल है |
सही विकल्प है:
