यदि रैखिक समीकरण निकाय $x+y+3 z=0$, $x+3 y+k^{2} z=0$, $3 x+y+3 z=0$ का किसी $k \in R$, के लिए, एक शून्येत्तर हल $( x , y , z )$ है, तो $x +\left(\frac{ y }{ z }\right)$ बराबर है -

दो न्याय पासे फेंके जाते है। उनमें प्राप्त अंको को $\lambda$ तथा $\mu$ लेकर रैखिक समीकरण निकाय $x+y+z=5$ , $x+2 y+3 z=\mu$ , $x+3 y+\lambda z=1$ बनाया जाता है। यदि इस निकाय का अद्वितीय हल होने की प्रायिकता $p$ है तथा इस निकाय का कोई भी हल न होने की प्रायिकता $q$ है, तो -

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{a - b}&{b - c}&{c - a}\\{x - y}&{y - z}&{z - x}\\{p - q}&{q - r}&{r - p}\end{array}\,} \right| = $

किसी $\Delta ABC$ में, यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&b\\1&c&a\\1&b&c\end{array}\,} \right| = 0$, तो ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = $

माना एक न्याय पासे को फेंकने पर प्राप्त संख्या $N$ है यदि समीकरण निकाय $x+y+z=1$  ;   $2 x+N y+2 z=2$  ;  $3 x+3 y+N z=3$ के अद्वितीय हल होने की प्रायिकता $\frac{k}{6}$ है, तो $k$ तथा $N$ के सभी संभव मानों का योग है

माना $a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{10}$ गुणोत्तर श्रेणी में है जिसमें $i =1,2, \ldots, 10$ के लिये $a _{ i }>0$ है तथा युग्मों $( r , k ), r , k \in N$ (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय) का समुच्चय $S$ है जिसके लिये $\left|\begin{array}{lll}\log _{ e } a_{1}^{ r } a _{2}^{ k } & \log _{ e } a _{2}^{ r } a _{3}^{ k } & \log _{ e } a _{3}^{ r } a _{4}^{ k } \\ \log _{ e } a _{4}^{ r } a _{5}^{ k } & \log _{ e } a _{5}^{ r } a _{6}^{ k } & \log _{ e } a _{6}^{ r } a _{7}^{ k } \\ \log _{ e } a _{7}^{ r } a _{8}^{ k } & \log _{ e } a _{8}^{ r } a _{9}^{ k } & \log _{ e } a _{9}^{ r } a _{10}^{ k }\end{array}\right|=0$ है। तब $S$ में अवयवों की संख्या होगी