यदि $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$ हो, तो दिखाइए $|3 A |=27| A |$
यदि $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$ हो, तो दिखाइए $|3 A |=27| A |$
The given matrix is $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$
It can be observed that in the first column, two entries are zero. Thus, we expand along the first column $(C_1 )$ for easier calculation.
$|A|=1\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 4\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 4\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right|=1(4-0)-0+0=4$
$\therefore 27|A|=27(4)=108......(i)$
${{\text{Now, }}3A = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
1&0&1 \\
0&1&2 \\
0&0&4
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
3&0&3 \\
0&3&6 \\
0&0&{12}
\end{array}} \right]}$
${\therefore \,|3A| = 3\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
3&6 \\
0&{12}
\end{array}} \right| - 0\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
0&3 \\
0&{12}
\end{array}} \right| + 0\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
0&3 \\
3&6
\end{array}} \right|}$
${\begin{array}{*{20}{l}}
{ = 3(36 - 0) = 3(36) = 108}
\end{array}}......(ii)$
From equations $( i )$ and $(ii)$, we have:
$|3 A|=27|A|$
Hence, the given result is proved.
Similar Questions
यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x}&{x + 1}&{x - 2}\\{2{x^2} + 3x - 1}&{3x}&{3x - 3}\\{{x^2} + 2x + 3}&{2x - 1}&{2x - 1}\end{array}\,} \right| = Ax - 12$, तो $ A$ का मान है
यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x}&{x + 1}&{x - 2}\\{2{x^2} + 3x - 1}&{3x}&{3x - 3}\\{{x^2} + 2x + 3}&{2x - 1}&{2x - 1}\end{array}\,} \right| = Ax - 12$, तो $ A$ का मान है
- [IIT 1982]
माना $\mathrm{A}_1, \mathrm{~A}_2, \mathrm{~A}_3$ तीन A.P. है, जिनका सार्वअंतर $\mathrm{d}$ है तथा जिनके पहले पद क्रमशः $\mathrm{A}, \mathrm{A}+1, \mathrm{~A}+2$, है। माना $\mathrm{A}_1, \mathrm{~A}_2, \mathrm{~A}_3$ के $7$ वाँ, $9$ वाँ व $17$ वाँ पद क्रमश: $a, b, c$ है तथा $\left|\begin{array}{lll}\mathrm{a} & 7 & 1 \\ 2 \mathrm{~b} & 17 & 1 \\ \mathrm{c} & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$ है। यदि $\mathrm{a}=29$, है, तो उस $AP$ जिसका पहला पद $\mathrm{c}-$ $\mathrm{a}-\mathrm{b}$ है तथा सार्वअंतर $\frac{\mathrm{d}}{12}$ है, के प्रथम $20$ पदों का योग बराबर ____________ है।
माना $\mathrm{A}_1, \mathrm{~A}_2, \mathrm{~A}_3$ तीन A.P. है, जिनका सार्वअंतर $\mathrm{d}$ है तथा जिनके पहले पद क्रमशः $\mathrm{A}, \mathrm{A}+1, \mathrm{~A}+2$, है। माना $\mathrm{A}_1, \mathrm{~A}_2, \mathrm{~A}_3$ के $7$ वाँ, $9$ वाँ व $17$ वाँ पद क्रमश: $a, b, c$ है तथा $\left|\begin{array}{lll}\mathrm{a} & 7 & 1 \\ 2 \mathrm{~b} & 17 & 1 \\ \mathrm{c} & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$ है। यदि $\mathrm{a}=29$, है, तो उस $AP$ जिसका पहला पद $\mathrm{c}-$ $\mathrm{a}-\mathrm{b}$ है तथा सार्वअंतर $\frac{\mathrm{d}}{12}$ है, के प्रथम $20$ पदों का योग बराबर ____________ है।
- [JEE MAIN 2023]
$c \in R$ का अधिकतम मान, जिसके लिए रैखिक समीकरण निकाय $x-c y-c z=0$, $c x-y+c z=0$, $c x+c y-z=0$ का एक अतुच्छ हल है, है -
$c \in R$ का अधिकतम मान, जिसके लिए रैखिक समीकरण निकाय $x-c y-c z=0$, $c x-y+c z=0$, $c x+c y-z=0$ का एक अतुच्छ हल है, है -
- [JEE MAIN 2019]
माना कि $\alpha, \beta$ एवं $\gamma$ वास्तविक संख्याएं (real numbers) हैं। निम्न रैखिक समीकरण निकाय (system of linear equations) पर विचार कीजिए।
$x+2 y+z=7$
$x+\alpha z=11$
$2 x-3 y+\beta z=\gamma$
List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-$II$ की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।
List - $I$
List - $II$
($P$)यदि $\beta=\frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ एवं $\gamma=28$, तब निकाय का(के)
($1$) क अद्वितीय हल (unique solution) है
($Q$)यदि $\beta=\frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ एवं $\gamma \neq 28$, तब निकाय का(के)
($2$)कोई हल नहीं है
($R$) Iयदि $\beta \neq \frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ जहाँ $\alpha=1$ एवं $\gamma \neq 28$, तब निकाय का(के)
($3$)अनंत हल हैं
($S$) यदि $\beta \neq \frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ जहाँ $\alpha=1$ एवं $\gamma=28$, तब निकाय का(के)
($4$) $x=11, y=-2$ एवं $z=0$ एक हल है
($5$) $x=-15, y=4$ एवं $z=0$ एक हल है
सही विकल्प है:
माना कि $\alpha, \beta$ एवं $\gamma$ वास्तविक संख्याएं (real numbers) हैं। निम्न रैखिक समीकरण निकाय (system of linear equations) पर विचार कीजिए।
$x+2 y+z=7$
$x+\alpha z=11$
$2 x-3 y+\beta z=\gamma$
List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-$II$ की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।
| List - $I$ | List - $II$ |
| ($P$)यदि $\beta=\frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ एवं $\gamma=28$, तब निकाय का(के) | ($1$) क अद्वितीय हल (unique solution) है |
| ($Q$)यदि $\beta=\frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ एवं $\gamma \neq 28$, तब निकाय का(के) | ($2$)कोई हल नहीं है |
|
($R$) Iयदि $\beta \neq \frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ जहाँ $\alpha=1$ एवं $\gamma \neq 28$, तब निकाय का(के) |
($3$)अनंत हल हैं |
| ($S$) यदि $\beta \neq \frac{1}{2}(7 \alpha-3)$ जहाँ $\alpha=1$ एवं $\gamma=28$, तब निकाय का(के) | ($4$) $x=11, y=-2$ एवं $z=0$ एक हल है |
| ($5$) $x=-15, y=4$ एवं $z=0$ एक हल है |
सही विकल्प है:
- [IIT 2023]
यदि $a \ne p,b \ne q,c \ne r$ और $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}p&b&c\\{p + a}&{q + b}&{2c}\\a&b&r\end{array}\,} \right|$ =$0,$ तो $\frac{p}{{p - a}} + \frac{q}{{q - b}} + \frac{r}{{r - c}} = $
यदि $a \ne p,b \ne q,c \ne r$ और $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}p&b&c\\{p + a}&{q + b}&{2c}\\a&b&r\end{array}\,} \right|$ =$0,$ तो $\frac{p}{{p - a}} + \frac{q}{{q - b}} + \frac{r}{{r - c}} = $