यदि $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$ हो, तो दिखाइए $|3 A |=27| A |$
The given matrix is $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$
It can be observed that in the first column, two entries are zero. Thus, we expand along the first column $(C_1 )$ for easier calculation.
$|A|=1\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 4\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 4\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right|=1(4-0)-0+0=4$
$\therefore 27|A|=27(4)=108......(i)$
${{\text{Now, }}3A = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
1&0&1 \\
0&1&2 \\
0&0&4
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
3&0&3 \\
0&3&6 \\
0&0&{12}
\end{array}} \right]}$
${\therefore \,|3A| = 3\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
3&6 \\
0&{12}
\end{array}} \right| - 0\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
0&3 \\
0&{12}
\end{array}} \right| + 0\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
0&3 \\
3&6
\end{array}} \right|}$
${\begin{array}{*{20}{l}}
{ = 3(36 - 0) = 3(36) = 108}
\end{array}}......(ii)$
From equations $( i )$ and $(ii)$, we have:
$|3 A|=27|A|$
Hence, the given result is proved.
$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1/a}&1&{bc}\\{1/b}&1&{ca}\\{1/c}&1&{ab}\end{array}\,} \right| = $
रेखिक समीकरण निकाय $x+y+z=4 \mu$, $x+2 y+2 \lambda z=10 \mu, x+3 y+4 \lambda^2 z=\mu^2+15$ जहाँ $\lambda, \mu \in \mathrm{R}$ हैं का विचार कीजिए। निम्न कथनों में से कौन सा सही नहीं है ?
यदि $A$ एक $3 \times 3$ कोटि का वर्ग आव्युह है तो $|k A |$ का मान होगा:
प्रत्येक में $k$ का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है जहाँ शीर्षबिंदु निम्नलिखित हैं:
$(-2,0),(0,4),(0, \mathrm{k})$
यदि $\Delta_{ r }=\left|\begin{array}{ccc} r & 2 r -1 & 3 r -2 \\ \frac{ n }{2} & n -1 & a \\ \frac{1}{2} n ( n -1) & ( n -1)^{2} & \frac{1}{2}( n -1)(3 n +4)\end{array}\right|$ हैं, तो $\sum_{ r =1}^{ n -1} \Delta_{ r }$ का मान