यदि $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$ हो, तो दिखाइए $|3 A |=27| A |$

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

The given matrix is $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right]$

It can be observed that in the first column, two entries are zero. Thus, we expand along the first column $(C_1 )$ for easier calculation.

$|A|=1\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 4\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 4\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right|=1(4-0)-0+0=4$

$\therefore 27|A|=27(4)=108......(i)$

${{\text{Now, }}3A = 3\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  1&0&1 \\ 
  0&1&2 \\ 
  0&0&4 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  3&0&3 \\ 
  0&3&6 \\ 
  0&0&{12} 
\end{array}} \right]}$

${\therefore \,|3A| = 3\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
  3&6 \\ 
  0&{12} 
\end{array}} \right| - 0\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
  0&3 \\ 
  0&{12} 
\end{array}} \right| + 0\left| {\begin{array}{*{20}{l}}
  0&3 \\ 
  3&6 
\end{array}} \right|}$

${\begin{array}{*{20}{l}}
  { = 3(36 - 0) = 3(36) = 108} 
\end{array}}......(ii)$

From equations $( i )$ and $(ii)$, we have:

$|3 A|=27|A|$

Hence, the given result is proved.

Similar Questions

रैंखिक समीकरण निकाय

$x + y + z = 2$

$2x + 3y + 2z = 5$

$2x + 3y + (a^2 -1)\,z = a + 1$

  • [JEE MAIN 2019]

प्रत्येक में $k$ का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है जहाँ शीर्षबिंदु निम्नलिखित हैं:

$(\mathrm{k}, 0),(4,0),(0,2)$

माना $\mathrm{A}_1, \mathrm{~A}_2, \mathrm{~A}_3$ तीन A.P. है, जिनका सार्वअंतर $\mathrm{d}$ है तथा जिनके पहले पद क्रमशः $\mathrm{A}, \mathrm{A}+1, \mathrm{~A}+2$, है। माना $\mathrm{A}_1, \mathrm{~A}_2, \mathrm{~A}_3$ के $7$ वाँ, $9$ वाँ व $17$ वाँ पद क्रमश: $a, b, c$ है तथा $\left|\begin{array}{lll}\mathrm{a} & 7 & 1 \\ 2 \mathrm{~b} & 17 & 1 \\ \mathrm{c} & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$ है। यदि $\mathrm{a}=29$, है, तो उस $AP$ जिसका पहला पद $\mathrm{c}-$ $\mathrm{a}-\mathrm{b}$ है तथा सार्वअंतर $\frac{\mathrm{d}}{12}$ है, के प्रथम $20$ पदों का योग बराबर ____________ है।

  • [JEE MAIN 2023]

समीकरण निकाय $\lambda x + y + z = 0,$ $ - x + \lambda y + z = 0,$ $ - x - y + \lambda z = 0$ का एक अशून्य हल होगा, यदि $\lambda $ का वास्तविक मान है

  • [IIT 1984]

$\lambda$ तथा $\mu$ के वे मान जिनके लिए समीकरण निकाय $x+y+z=6,3 x+5 y+5 z=26, x+2 y+\lambda z=\mu$ का कोई हल नहीं हैं,

  • [JEE MAIN 2021]