જો ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{27}} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1$ પરના બિંદુએથી બનાવેલ સ્પર્શક યામાક્ષોને બિંદુ $A$ અને $B$ માં છેદે તથા $O$ એ ઉંગમબિંદુ હોય તો ત્રિકોણ $OAB$ નું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ ચો. એકમ માં મેળવો. 

આપેલ શરતોનું સમાધાન કરતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધોઃ  પ્રધાન અક્ષનાં અંત્યબિંદુઓ  $(±3,\,0)$, ગૌણ અક્ષનાં અંત્યબિંદુઓ $(0,\,±2)$

આપેલ ઉપવલય માટે નાભિના યામ, શિરોબિંદુઓ તથા પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધોઃ

$\frac{x^{2}}{16}+\frac {y^2} {9}=1$

ધારો કે $A(\alpha, 0)$ અને $B(0, \beta)$ એ, રેખા $5 x+7 y=50$ પરના બિંદુઓ છે. ધારો કે બિંદુ $P$, રેખાખંડ $A B$ નું $7: 3$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. ધારો કે ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ની એક નિયામિકા $3 x-25=0$ છે અને અનુરૂપ નાભિ $S$ છે. જો $S$ માંથી $x$-અક્ષ પરનો લંબ $P$ માંથી પસાર થતો હોય, તો $E$ ના નાભિલંબની લંબાઇ .......................... છે. 

$12$ મી લંબાઈનો સળિયો એવી રીતે ખસે છે કે જેથી તેના અંત્યબિંદુઓ યામાક્ષો પર રહે. $x-$ અક્ષ પરના અંત્યબિંદુથી $3$ મી દૂર આવેલ સળિયા પરના બિંદુ $P$ નો બિંદુગણ શોધો.