- Home
- Standard 11
- Physics
જો પ્રકાશના વેગ $c$, પ્લાન્ક અચળાંક $h$ અને ગુરુત્વાકર્ષી અચળાંક $ G$ ને મૂળભૂત રાશિઓ તરીકે લેવામાં આવે તો દ્રવ્યમાન, લંબાઈ અને સમયને આ ત્રણ રાશિઓમાં દર્શાવતા સૂત્રો મેળવો.
Solution
$(c)=\left[ L ^{1} T ^{-1}\right]$
$(h)=\left[ M ^{1} L ^{2} T ^{-1}\right]$
$( G )=\left[ M ^{-1} L ^{3} T ^{-2}\right]$
$(i)$ દળ માટે :
$m \propto c^{a} h^{b} G ^{d}$ જ્યાં $a, b, d \in Z$
$\therefore m=k c^{a} h^{b} G ^{d}$
જ્યાં $k$ પરિમાણારહિત અચળાંક
સમીકરણ $(1)$ની બંને બાજુના પરિમાણ લખતાં,
$\left[ M ^{1} L ^{0} T ^{0}\right]=\left[ L ^{1} T ^{-1}\right]^{a} \times\left[ M ^{1} L ^{2} T ^{-1}\right]^{b} \times\left[ M ^{-1} L ^{3} T ^{-2}\right]^{d}$
$M ^{1} L ^{0} T ^{0}= M ^{b-d} L ^{a+2 b+3 d} T ^{-a-b-2 d}$
$M, L, T$ના ધાત સરખાવતાં,
$b-d=1$
$a+2 b+3 d=0$
$-a-b-2 d=0$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતાં,
$b+d=0$
$\therefore b=-d$
સમીકરણ $(2)$ પરથી $b-d = 1$
$\therefore-d-d=1$
$\therefore-2 d=1$
$\therefore d=-\frac{1}{2}$
અને $b=-d$ પરથી
$\therefore b=\frac{1}{2}$
હવે સમીકરણ $(4)$ પરથી,
$a=-b-2 d$
$\therefore a=-\frac{1}{2}-2\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$
$\therefore a=\frac{1}{2}$
સમીકરણ $(1)$માં $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2}, d=-\frac{1}{2}$ મૂકતાં,
$m=c^{\frac{1}{2}} h^{\frac{1}{2}} G ^{-\frac{1}{2}}$