જો પ્રકાશના વેગ $c$, પ્લાન્ક અચળાંક $h$ અને ગુરુત્વાકર્ષી અચળાંક $ G$ ને મૂળભૂત રાશિઓ તરીકે લેવામાં આવે તો દ્રવ્યમાન, લંબાઈ અને સમયને આ ત્રણ રાશિઓમાં દર્શાવતા સૂત્રો મેળવો. 

$(c)=\left[ L ^{1} T ^{-1}\right]$

$(h)=\left[ M ^{1} L ^{2} T ^{-1}\right]$

$( G )=\left[ M ^{-1} L ^{3} T ^{-2}\right]$

$(i)$ દળ માટે :

$m \propto c^{a} h^{b} G ^{d}$ જ્યાં $a, b, d \in Z$

$\therefore m=k c^{a} h^{b} G ^{d}$

જ્યાં $k$ પરિમાણારહિત અચળાંક

સમીકરણ $(1)$ની બંને બાજુના પરિમાણ લખતાં,

$\left[ M ^{1} L ^{0} T ^{0}\right]=\left[ L ^{1} T ^{-1}\right]^{a} \times\left[ M ^{1} L ^{2} T ^{-1}\right]^{b} \times\left[ M ^{-1} L ^{3} T ^{-2}\right]^{d}$

$M ^{1} L ^{0} T ^{0}= M ^{b-d} L ^{a+2 b+3 d} T ^{-a-b-2 d}$

$M, L, T$ના ધાત સરખાવતાં,

$b-d=1$

$a+2 b+3 d=0$

$-a-b-2 d=0$

સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતાં,

$b+d=0$

$\therefore b=-d$

સમીકરણ $(2)$ પરથી $b-d = 1$

$\therefore-d-d=1$

$\therefore-2 d=1$

$\therefore d=-\frac{1}{2}$

અને $b=-d$ પરથી

$\therefore b=\frac{1}{2}$

હવે સમીકરણ $(4)$ પરથી,

$a=-b-2 d$

$\therefore a=-\frac{1}{2}-2\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$

$\therefore a=\frac{1}{2}$

સમીકરણ $(1)$માં $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2}, d=-\frac{1}{2}$ મૂકતાં,

$m=c^{\frac{1}{2}} h^{\frac{1}{2}} G ^{-\frac{1}{2}}$