किसी दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $6$ व लघुअक्ष $8$ है तो इसकी उत्केन्द्रता होगी

माना कि $F_1\left(x_1, 0\right)$ और $F_2\left(x_2, 0\right)$ (जिसमें $x_1<0, x_2>0$ ) दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x_2^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ की नाभियाँ (Foci) हैं। माना कि एक परवलय (parabola) जिसका शीर्ष (vertex) मूलबिन्दु (origin) पर और नाभि (focus) $F_2$ पर है, दीर्घवृत्त को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में $M$ पर और चतुर्थ चतुर्थांश (fourth quadrant) में $N$ पर प्रतिच्छेदित करता है।

($1$) त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेन्द्र (orthocentre) है

$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right).$

($2$) यदि दीर्घवृत्त के बिन्दुओं $M$ और $N$ पर स्परिखाएँ (tangents) $R$ पर मिलती हैं और परवलय के बिन्दु $M$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है, तब त्रिभुज $M Q R$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज (quadrilateral) $M F_1 N F_2$ के क्षेत्रफल का अनुपात (ratio) है

$(A)$ $3: 4$  $(B)$ $4: 5$  $(C)$ $\sec 5: 8$  $(D)$ $2: 3$

दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)

दीर्घवृत्त  $4{x^2} + 9{y^2} - 16x - 54y + 61 = 0$ का केन्द्र है

दीर्घवृत्त $9{x^2} + 5{y^2} - 30y = 0$ की उत्केन्द्रता है  

दीर्घवृत्त में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$

प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए

दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु $(0, \pm \sqrt{5}),$ लघु अक्ष के अंत्य बिंदु $(±1,0)$