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माना दीर्घवत्त $\frac{ x ^{2}}{9}+\frac{ y ^{2}}{1}=1$ तथा वत्त $x ^{2}+ y ^{2}=3$ के प्रथम चतुर्थाश में प्रतिच्छेदन बिन्दु पर स्पर्श रेखाओं के बीच न्यून कोण $\theta$ है। तब $\tan \theta$ बराबर है
$\frac{5}{2 \sqrt{3}}$
$\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\frac{4}{\sqrt{3}}$
$2$
Solution
The point of intersection of the curves $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ and $x^{2}+y^{2}=3$ in the first quadrant is $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Now slope of tangent to the ellipse $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ at $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ is
$\mathrm{m}_{1}=-\frac{1}{3 \sqrt{3}}$
And slope of tangent to the circle at $\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ is $\mathrm{m}_{2}$
$=-\sqrt{3}$
So, if angle between both curves is $\theta$ then
$\tan \theta=\left|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}\right|=\left|\frac{-\frac{1}{3 \sqrt{3}}+\sqrt{3}}{1+\left(-\frac{1}{3 \sqrt{3}}(-\sqrt{3})\right)}\right|$$=\frac{2}{\sqrt{3}}$
