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एक परीक्षा में गणित के प्रश्नपत्र में बराबर अंकों के $20$ प्रश्न हैं तथा प्रश्नपत्र में तीन खंड : $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ और $\mathrm{C}$ है। एक विद्यार्थी को कुल $15$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं, जिनमें प्रत्येक खंड से कम से कम 4 प्रश्न होने चाहिए। यदि खंड $\mathrm{A}$ में $8$ प्रश्न, खंड $\mathrm{B}$ में $6$ प्रश्न तथा खंड $\mathrm{C}$ में $6$ प्रश्न तथा खंड $\mathrm{C}$ में $6$ प्रश्न हैं, तो एक विद्यार्थी द्वारा $15$ प्रश्न चुनने के तरीकों की कुल संख्या है .............
$11370$
$11376$
$11375$
$11350$
Solution
If $4$ questions from each section are selected
Remaining $3$ questions can be selected either in $(1,1,1)$ or $(3,0,0)$ or $(2,1,0)$
$\therefore$ Total ways $={ }^8 \mathrm{c}_5 \cdot{ }^6 \mathrm{c}_5 \cdot{ }^6 \mathrm{c}_5+{ }^8 \mathrm{c}_6{ }^6 \mathrm{c}_5 \cdot{ }^6 \mathrm{c}_4 \times 2+$
${ }^8 \mathrm{c}_5 \cdot{ }^6 \mathrm{c}_6 \cdot{ }^6 \mathrm{c}_4 \times 2+{ }^8 \mathrm{c}_4 \cdot{ }^6 \mathrm{c}_6 \cdot{ }^6 \mathrm{c}_5 \times 2+{ }^8 \mathrm{c}_7 \cdot{ }^6 \mathrm{c}_4 \cdot{ }^6 \mathrm{c}_4 $
$ =56 \cdot 6 \cdot 6+28 \cdot 6 \cdot 15 \cdot 2+56 \cdot 15 \cdot 2+70 \cdot 6 \cdot 2 $
$ +8 \cdot 15 \cdot 15 $
$ =2016+5040+1680+840+1800=11376$
