$(1+a)^{m+n}$ ના વિસ્તરણમાં વર્ષ $a^{m}$ અને $a^{n}$ ના સહગુણકો સમાન છે તેમ સાબિત કરો. 

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

It is known that $(r+1)^{\text {th }}$ term, $\left(T_{r+1}\right),$ in the binomial expansion of $(a+b)^{n}$ is given by $T_{r+1}=^{n} C_{r} a^{n-r} b^{r}$

Assuming that $a^{m}$ occurs in the $(r+1)^{th}$ term of the expansion $(1+a)^{m+n},$ we obtain ${T_{r + 1}} = {\,^{m + n}}{C_r}{(1)^{m + n - r}}{(a)^r} = {\,^{m + n}}{C_r}{a^r}$

Comparing the indices of a in $a^{m}$ in $T_{r+1},$

We obtain $r = m$

Therefore, the coefficient of $a^{m}$ is

${\,^{m + n}}{C_m} = \frac{{(m + n)!}}{{m!(m + n - m)!}} = \frac{{(m + n)!}}{{m!n!}}$       ...........$(1)$

Assuming that $a^{n}$ occurs in the $(k+1)^{t h}$ term of the expansion $(1+a)^{m+n},$ we obtain

${T_{k + 1}} = {\,^{m + n}}{C_k}{(1)^{m + n - k}}{(a)^k} = {\,^{m + n}}{C_k}{(a)^k}$

Comparing the indices of a in $a^{n}$ and in $T_{k+1}$

We obtain

$k=n$

Therefore, the coefficient of $a^{n}$ is

${\,^{m + n}}{C_n} = \frac{{(m + n)!}}{{n!(m + n - n)!}} = \frac{{(m + n)!}}{{n!m!}}$         ............$(2)$

Thus, from $(1)$ and $(2),$ it can be observed that the coefficients of $a^{m}$ and $a^{n}$ in the exansion of $(1+a)^{m+n}$ are equal

Similar Questions

${\left( {2x - \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)^{12}}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ મેળવો.

${\left[ {\frac{x}{2}\,\, - \,\,\frac{3}{{{x^2}}}} \right]^{10}}$ માં $x^4$ નો સહગુણક મેળવો 

$a$ ની કઈ કિમત માટે ${\left( {{x^2}\,\, + \,\,\frac{a}{{{x^3}}}} \right)^{10}}$ ના વિસ્તરણમાં $x^5$ અને $x^{15}$ નો સહગુણકો સમાન થાય ? 

$\left(\frac{4 x}{5}+\frac{5}{2 x^2}\right)^9$ ના વિસ્તરણ માં $x^{-6}$ નો સહગુણક $..........$.

  • [JEE MAIN 2023]

જો $\left(\sqrt{\frac{1}{x^{1+\log _{10} x}}}+x^{\frac{1}{12}}\right)^{6}$ ના વિસ્તરણમાં ચોથું પદ $200$ અને  $x > 1$ હોય તો $x$ ની કિમત મેળવો.

  • [JEE MAIN 2019]