$(1+a)^{m+n}$ ના વિસ્તરણમાં વર્ષ $a^{m}$ અને $a^{n}$ ના સહગુણકો સમાન છે તેમ સાબિત કરો.
It is known that $(r+1)^{\text {th }}$ term, $\left(T_{r+1}\right),$ in the binomial expansion of $(a+b)^{n}$ is given by $T_{r+1}=^{n} C_{r} a^{n-r} b^{r}$
Assuming that $a^{m}$ occurs in the $(r+1)^{th}$ term of the expansion $(1+a)^{m+n},$ we obtain ${T_{r + 1}} = {\,^{m + n}}{C_r}{(1)^{m + n - r}}{(a)^r} = {\,^{m + n}}{C_r}{a^r}$
Comparing the indices of a in $a^{m}$ in $T_{r+1},$
We obtain $r = m$
Therefore, the coefficient of $a^{m}$ is
${\,^{m + n}}{C_m} = \frac{{(m + n)!}}{{m!(m + n - m)!}} = \frac{{(m + n)!}}{{m!n!}}$ ...........$(1)$
Assuming that $a^{n}$ occurs in the $(k+1)^{t h}$ term of the expansion $(1+a)^{m+n},$ we obtain
${T_{k + 1}} = {\,^{m + n}}{C_k}{(1)^{m + n - k}}{(a)^k} = {\,^{m + n}}{C_k}{(a)^k}$
Comparing the indices of a in $a^{n}$ and in $T_{k+1}$
We obtain
$k=n$
Therefore, the coefficient of $a^{n}$ is
${\,^{m + n}}{C_n} = \frac{{(m + n)!}}{{n!(m + n - n)!}} = \frac{{(m + n)!}}{{n!m!}}$ ............$(2)$
Thus, from $(1)$ and $(2),$ it can be observed that the coefficients of $a^{m}$ and $a^{n}$ in the exansion of $(1+a)^{m+n}$ are equal
$\left( {{2^{1/3}} + \frac{1}{{2{{\left( 3 \right)}^{1/3}}}}} \right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં પહેલેથી $5^{th}$ માં પદ અને છેલ્લેથી $5^{th}$ માં પદનો ગુણોત્તર મેળવો.
${\left( {x - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^9}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ મેળવો.
$\left( {\frac{1}{{60}} - \frac{{{x^8}}}{{81}}} \right).{\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}$ ના વિસ્તરણમાં એવું પદ મેળવો કે જે $x$ પર આધારિત નથી.
જો ${(1 + x)^n}$ ના વિસ્તરણમાં ${5^{th}}$, ${6^{th}}$ અને ${7^{th}}$ પદના સહગુણક સમાંતર શ્રેણી માં હોય તો $n =$ . . .
$\left(2 x^3-\frac{1}{3 x^2}\right)^5$ ના વિસ્તરણમાં $x^5$ નો સહગુણક $........$ હશે.