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चित्र में आतंरिक (छायांकित) क्षेत्र $A$ एक $r_{-1}=1$ त्रिज्या के गोले को प्रदर्शित करता है, जिसके अन्दर विधुत आवेश घनत्व (electrostatic charge density) $\rho_{-1}=k r$ केंद्र से त्रिज्य-दूरी $r$ के साथ बदलता है, जहां $k$ धनात्मक है। $r_B$ त्रिज्या के बाह्य (outer) गोलीय खोल $B$ में, विधुत आवेश घनत्व $\rho_B=\frac{2 k}{r}$ से बदलता है। मान लें कि यूनिट्स का ध्यान रखा गया है। सभी भौतिकी मात्रायें (quantities) SI मानक में है।
निम्न में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)।
यदि $r_B=\sqrt{\frac{3}{2}}$, तो विद्युत क्षेत्र (electric field) का मान $B$ के बाहर शून्य है।
यदि $r_B=\frac{3}{2}$, तो विद्युत विभव (electric potential) का मान $B$ के बाहर $\frac{k}{\epsilon_0}$ है।
यदि $r_B=2$, तो संयोजन (configuration) का कुल आवेश $15 \pi k$ है।
यदि $r_B=\frac{5}{2}$, तो विद्युत क्षेत्र का $B$ के बाहर परिमाण $\frac{13 \pi k}{\epsilon_0}$ है।
Solution
$q _1=\int_0^1 k r 4 \pi r^2 d c=\frac{4 \pi k}{4}=\pi k$
$q_2=\int_1^2 \frac{2 k}{r} 4 \pi r^2 d r=\frac{8 \pi k\left(r^2-1^2\right)}{2}$
$q_2=4 \pi k\left[r^2-1\right]=4 \pi k r^2-4 \pi k$
$q_{\text {net }}=q_1+q_2$
$=4 \pi r^2-3 \pi k$
$q_{p e t}=\pi k\left[4 r^2-3\right]$
$(A)$ $E_{2 x t}=0 \Rightarrow q_{\infty}=0 \Rightarrow r=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$(B)$ $V =\frac{ kQ Q _{ R }}{ r }=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\pi k\left(4 r^2-3\right)}{r}$
$V =\frac{ k }{4 \varepsilon_0}\left[4 r-\frac{3}{r}\right]$
$=\frac{k}{4 \varepsilon_0}\left[4 \times \frac{3}{2}-\frac{3 \times 2}{3}\right]=\frac{k}{\varepsilon_0}$
$\text { (C) } q _{2 e }=\pi k \left[4(2)^2-3\right]$
$=13 \pi k$
$(C)$
$q _{2 m}=\pi k \left[4(2)^2-3\right]$
$=13 \pi k$
$(D)$
$E_z =\frac{k Q}{r^2}$
$=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\pi k\left(4 r^2-3\right)}{r^2}$
$=\frac{k}{4 \varepsilon_0}\left[\frac{4\left(\frac{5}{2}\right)^2-3}{(5 / 2)^2}\right]$
$=\frac{k}{25 \varepsilon_0}[25-3]=\frac{22}{25} \frac{k}{\varepsilon_0}$
